《大高考》2016届高考复习数学理(全国通用)：第九章 平面解析几何 第六节

考纲考向分析核心要点突破第六节直线与圆锥曲线的位置关系考纲考向分析核心要点突破考点梳理考纲速览命题解密热点预测1.直线与圆锥曲线的位置关系.2.轨迹与轨迹方程.3.定值与最值问题.4.存在性问题.1.能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题.2.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.3.理解基本几何量，如斜率、距离、面积等概念，掌握与圆锥曲线有关的定值、最值问题.4.能够合理转化，掌握与圆锥曲线有关的存在性问题.高考对本节内容的考查主要是直线与圆锥曲线的位置关系及有关弦长的综合性问题.以直线与圆锥曲线的位置关系为主线，针对定点与定值，参变量的取值范围和最值等问题实施考查，同时，常伴随探究性与存在性问题.本部分为高考必考内容，注重对直线与圆锥曲线的位置关系及有关弦长的结合问题、轨迹方程、定点、最值等问题的考查，着重考查分析问题、解决问题的能力.考查方程思想、数形结合思想、分类讨论、转化与化归思想的应用，对抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力都有很高的要求.考纲考向分析核心要点突破知识点一直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得变量x(或y)的方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：①Δ0⇔直线与圆锥曲线；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线；③Δ0⇔直线与圆锥曲线.(2)若a＝0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点.相交相切相离考纲考向分析核心要点突破2.圆锥曲线的弦长问题设直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝_____________或______________.1＋k2|x1－x2|1＋1k2|y1－y2|考纲考向分析核心要点突破3.弦中点问题对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件是Δ≥0.(1)在椭圆x2a2＋y2b2＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝_____.(2)在双曲线x2a2－y2b2＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝_____.(3)在抛物线y2＝2px(p0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝__.－b2x0a2y0b2x0a2y0py0考纲考向分析核心要点突破知识点二曲线与方程1.曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.求动点的轨迹方程一般步骤——“建、设、列、代、证”(1)建系——建立适当的坐标系.(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y).考纲考向分析核心要点突破(3)列式——列出动点P所满足的关系式.(4)代入——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简.(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程.2.圆锥曲线的综合问题(1)最值问题：可结合数形结合或转化为函数最值或线性规则问题.(2)定值问题：先求出表达式，再化简，据已知条件列出方程(或不等式)，消参.(3)对参数的取值范围问题：据已知条件建立等式或不等式或函数关系，求参数的范围.考纲考向分析核心要点突破(4)对称问题：若A，B两点关于直线对称，则直线AB与对称轴垂直，且线段AB的中点在对称轴上，即对称轴是线段AB的垂直平分线.解决对称问题应注意条件的充分利用，尤其是各量之间的关系.(5)存在性问题：一般采用“假设反证法”或“假设验证法”来解决.另外，也可先用特殊情况或特殊位置得到所求的值，再给出一般性的证明，即由特殊到一般的方法.考纲考向分析核心要点突破1.本部分知识可以归纳为：(1)一个公式：弦长公式|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|.(2)五种方法：①直接法(五步法)；②定义法；③相关点法(代入法)；④参数法；⑤交轨法.(3)五类问题：圆锥曲线中常见的五类综合问题：①最值问题；②定值问题；③求参数取值范围问题；④对称问题；⑤存在性问题.2.在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.【名师助学】考纲考向分析核心要点突破3.中点弦问题，可以利用“点差法”，在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数.4.处理好圆锥曲线综合问题(1)要理解和掌握圆锥曲线的有关概念、公式，达到灵活运用；(2)要善于用代数的知识和方法；(3)要重视函数与方程思想的应用；(4)要重视对数学思想、方法的归纳提炼，达到优化解题思路、简化解题过程的效果.考纲考向分析核心要点突破方法1最值与范围问题求范围的方法同求最值及函数的值域的方法类似.求最值常见的解法有两种：代数法和几何法.若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值.圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.考纲考向分析核心要点突破【例1】已知椭圆G：x24＋y2＝1.过点(m，0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点.(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值.[解题指导]分析：(1)根据标准方程可求出a，b，c，进而求出椭圆的焦点坐标和离心率；(2)由题意|m|≥1，因此解答此题需要讨论，分类标准是m与1和－1的关系，即讨论切线l斜率不存在时的两种情况；(3)当斜率存在时，联立切线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及弦长公式可表示出|AB|，再求|AB|的最大值.考纲考向分析核心要点突破解(1)由已知得a＝2，b＝1,所以c＝a2－b2＝3，所以椭圆G的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e＝ca＝32.(2)由题意知，|m|≥1.当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为1，32，1，－32，此时|AB|＝3；当m＝－1时，同理可得|AB|＝3；当|m|1时，设切线l的方程为y＝k(x－m).由y＝k（x－m）x24＋y2＝1得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.考纲考向分析核心要点突破设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，又由l与圆x2＋y2＝1相切，得|km|k2＋1＝1，即m2k2＝k2＋1.所以|AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2＝（1＋k2）[（x2＋x1）2－4x1x2]＝（1＋k2）64k4m2（1＋4k2）2－4（4k2m2－4）1＋4k2＝43|m|m2＋3.由于当m＝±1时，|AB|＝3，符合上式，所以|AB|＝43|m|m2＋3＝43|m|＋3|m|≤2，当且仅当m＝±3时，|AB|＝2.所以|AB|的最大值为2.考纲考向分析核心要点突破[点评]本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，解决本题的关键是利用弦长公式表示出|AB|，再利用基本不等式求解最值.考纲考向分析核心要点突破方法2定点与定值问题(1)解决定点问题的关键就是建立直线系或者曲线系方程，要注意选用合适的参数表达直线系或者曲线系方程，如果是双参数，要注意这两个参数之间的相互关系.(2)解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确，即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，其不受变化的量所影响的一个值，就是要求的定值.解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.考纲考向分析核心要点突破【例2】(2012·福建)如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p＞0)上.(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.[解题指导](1)先求出点B的坐标，再代入抛物线方程即可求出参数p的值，从而得所求的抛物线方程；(2)假设在y轴上存在定点M，使得以线段PQ为直径的圆经过点M，转化为MP→·MQ→＝0，从而判断点M是否存在.考纲考向分析核心要点突破解(1)依题意，|OB|＝83，∠BOy＝30°.设B(x，y)，则x＝|OB|sin30°＝43，y＝|OB|cos30°＝12.因为点B(43，12)在x2＝2py上，所以(43)2＝2p×12，解得p＝2.故抛物线E的方程为x2＝4y.(2)法一由(1)知y＝14x2，y′＝12x.设P(x0，y0)，则x0≠0，且l的方程为y－y0＝12x0(x－x0)，即y＝12x0x－14x20.由y＝12x0x－14x20，y＝－1得x＝x20－42x0，y＝－1.所以Q为x20－42x0，－1.考纲考向分析核心要点突破设M(0，y1)，令MP→·MQ→＝0对满足y0＝14x20(x0≠0)的点(x0，y0)恒成立.由于MP→＝(x0，y0－y1)，MQ→＝x20－42x0，－1－y1，由MP→·MQ→＝0，得x20－42－y0－y0y1＋y1＋y21＝0，即(y21＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*)由于(*)式对满足y0＝14x20(x0≠0)的y0恒成立，所以1－y1＝0，y21＋y1－2＝0，解得y1＝1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1).考纲考向分析核心要点突破法二由(1)知y＝14x2，y′＝12x.设P(x0，y0)，则x0≠0，y0＝14x20，且l的方程为y－y0＝12x0(x－x0)，即y＝12x0x－14x20.由y＝12x0x－14x20，y＝－1得x＝x20－42x0，y＝－1.所以Q为x20－42x0，－1.考纲考向分析核心要点突破取x0＝2，此时P(2，1)，Q(0，－1)，以PQ为直径的圆为(x－1)2＋y2＝2，交y轴于点M1(0，1)、M2(0，－1)；取x0＝1，此时P1，14，Q－32，－1，以PQ为直径的圆为x＋142＋y＋382＝12564，交y轴于点M3(0，1)、M40，－74.故若满足条件的点M存在，只能是M(0，1).以下证明点M(0，1)就是所要求的点.因为MP→＝(x0，y0－1)，MQ→＝x20－42x0，－2，所以MP→·MQ→＝x20－42－2y0＋2＝2y0－2－2y0＋2＝0.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1).考纲考向分析核心要点突破[点评]圆锥曲线中的定值与定点问题是高考的常考题型，运算量较大，解题思维性较强.解决这类问题一般有两种方法：一是根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件列出方程组(或不等式)，消去参数，求出定值或定点坐标；二是先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证.考纲考向分析核心要点突破方法3圆锥曲线中的探索性问题探究性问题是指结论或条件不完备的试题，这类试题不给出确定的结论，让考生根据题目的条件进行分析判断，从而得出确定的结论，对分析问题、解决问题的能力有较高的要求，是高考压轴的热点题型.解决方案：