专题5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理(原卷版)

第五章平面向量专题1平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理（理科）【三年高考】1.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为,且tan=7,OB与OC的夹角为45°.若OCmOAnOB(,)mnR,则mn▲.【答案】32.【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=AB+AD，则+的最大值为A．3B．22C．5D．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系设0,1,0,0,2,0,2,1,,ABCDPxy,根据等面积公式可得圆的半径25r，即圆C的方程是22425xy，,1,0,1,2,0APxyABAD，若满足APABAD，即21xy，,12xy，所以12xy，设12xzy，即102xyz，点,Pxy在圆22425xy上，所以圆心到直线的距离dr，即221514z，解得13z，所以z的最大值是3，即的最大值是3，故选A.3.【2016年高考北京理数】设a，b是向量，则“||||ab”是“||||abab”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由22||||()()0abababababab，故是既不充分也不必要条件，故选D.4．【2016高考天津理数】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点ED,分别是边BCAB,的中点，连接DE并延长到点F，使得EFDE2，则BCAF的值为（）（A）85（B）81（C）41（D）811【答案】B【解析】设BAa，BCb，∴11()22DEACba，33()24DFDEba，1353()2444AFADDFabaab，∴25353144848AFBCabb，故选B.5．【2016高考新课标1卷】设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.【答案】2【解析】由222||||||abab,得ab,所以1120m,解得2m.6．【2015高考新课标1，理7】设D为ABC所在平面内一点3BCCD，则（）（A）1433ADABAC(B)1433ADABAC（C）4133ADABAC(D)4133ADABAC【答案】A【解析】由题知11()33ADACCDACBCACACAB=1433ABAC，故选A.8.【2015高考北京，理13】在ABC△中，点M，N满足2AMMC，BNNC．若MNxAByAC，则x；y．[来源:学.科.网]【答案】11,26【解析】特殊化，不妨设,4,3ACABABAC，利用坐标法，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立直角坐标系，3(0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2,)2AMCBN，1(2,),(4,0),2MNAB(0,3)AC，则1(2,)(4,0)(0,3)2xy，11142,3,,226xyxy.9.【2015高考新课标2，理13】设向量a，b不平行，向量ab与2ab平行，则实数_________．【答案】12【解析】因为向量ab与2ab平行，所以2abkab（），则12,kk，所以12．10.【2015江苏高考，6】已知向量a=)1,2(，b=)2,1(,若ma+nb=)8,9((Rnm,),则nm的值为______.【答案】3【解析】由题意得：29,282,5,3.mnmnmnmn11.【2015高考浙江，理15】已知12,ee是空间单位向量，1212ee，若空间向量b满足1252,2bebe，且对于任意,xyR，12010200()()1(,)bxeyebxeyexyR，则0x，0y，b．【答案】1，2，22.【2017考试大纲】1.平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景.(2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.(3)理解向量的几何表示.2.向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.3.平面向量的基本定理及坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义.(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题,对平面向量概念及线性运算、平面向量基本定理的考查重点为平面向量的相等的概念、平面向量平行的概念及充要条件、平面向量加减法及其几何意义、实数与向量积的运算概念及运算性质、平面向量基本定理、平面向量的坐标运算，特别是平面向量平行的充要条件、运用平面向量的加减法、实数与向量数量积及平面向量基本定理将未知向量用已知向量表示出来是考查的重点中的重点，题型既有选择题、填空题，有时也涉及解答题，往往和解析几何结合出题，函数等结合出题，与三角结合出大题在新课标卷中还没涉及，向量作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．整个命题过程紧扣课本，重点突出，有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接，全面考查向量的运算律等内容．【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出,高考对平面向量概念及线性运算、平面向量基本定理的考查重点仍为平面向量的相等的概念、平面向量平行的概念及充要条件、平面向量加减法及其几何意义、实数与向量积的运算概念及运算性质、平面向量基本定理、平面向量的坐标运算，特别是平面向量平行的充要条件、运用平面向量的加减法、实数与向量数量积及平面向量基本定理将未知向量用已知向量表示出来是考查的重点中的重点，向量作为工具与其他知识交会处命题会增加，应予以关注，单独考查形式为选择题或填空题，分值为5分，难度为多为容易题或中档题.故2018高考复习，要熟记平面向量的有关概念，熟练掌握平面向量共线的充要条件的两种形式，并会应用之解决三点共线问题，掌握平面向量加法与减法的三角形法则与平行四边形法则，会结合图形运用通过构造三角形、平行四边形、多边形运用平面向量实数与向量积、平面向量基本定理用待定系数法将未知向量用已知向量表示出来.【2018年高考考点定位】高考对向量的概念及线性运算、平面向量基本定理的考查主要有三种形式：一是直接考查平面向量的概念与线性运算，二是考查平面向量共线的充要条件，三是考查平面向量基本定理，题型为选择题，难度容易题或中档题，有时与线性规划、平面解析几何知识结合，以向量形式给出题中的条件或利用向量共线的充要条件处理涉及的共线问题.【考点1】向量的概念【备考知识梳理】1.向量：既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小.2.零向量：模为0的向量，记作0，其方向为任意的，所以0与任意向量平行，其性质有：0a=0，0+a=a.3.单位向量：模为1个长度单位的向量，与a方向相同的单位向量为a|a|.4.相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作a=b.5.相反向量：长度相等且方向相反的两个向量，a的相反向量为-a，有-(-a)=a.【规律方法技巧】1.判定两向量的关系式时，特别注意以下两种情况：（1）零向量的方向及与其他向量的关系.(2)单位向量的长度与方向.2.对任意向量可以自由移动，且任意一组平行向量都可平移到一条直线上.3.向量不能比较大小，但它的模可以比较大小.【考点针对训练】1.设向量(,1)xa，(4,)xb,若,ab方向相反,则实数x的值是（）A．0B．2C．2D．2【答案】D【解析】由题意得：2140x，解得：2x，当2x时，2,1a，4,2b，此时a，b方向相同，不符合题意，舍去；当2x时，2,1a，4,2b，此时a，b方向相反，符合题意．所以实数x的值是2，故选D．2.已知向量3,4a=，若5a，则实数的值为（）A．15B．1C．15D．1【答案】D【解析】因为3,4a=，所以22345a，因为5aa，所以55，解得：1，故选D．【考点2】向量的线性运算【备考知识梳理】1.向量加法:①平行四边形法则：平移a，b使其由公共的起点，以a、b为领边做平行四边形，则以共同起点为起点的对角线对应的向量就是a与b的和向量.②三角形法则：要注意“首尾相连”③两个向量的和向量仍为向量④当两个向量共线时，三角形法则适合，平行四边形法则不适合.2．向量减法应注意：①向量减法实质是加法的逆运算，其差仍是向量；②用三角形法则作向量减法时，牢记“起点相同，连结两个向量的终点，箭头指向被减向量终点”.3.向量数乘运算①实数与a的积仍是向量，|a|=|||a|，当＞0时，a与a方向相同，当＜0时，a与a方向相反，当=0时，a=0.②向量数乘的特殊情况：a=0充要条件是a=0或=0.③实数与向量可以求积，但可以求和、差.④熟练掌握向量的线性运算的运算律是正确化简向量式的关键，要正确区分向量数量积与实数向量积的运算律.4.平面向量基本定理①平面向量基本定理：若a、b是平面内不共线的向量，向量c是平面内任意一个向量，则存在唯一实数对,xy，使xyc=a+b.②平面向量基本定理作用，平面向量基本定理是定义向量坐标的基础，是将平面内任意向量用不共线的平面向量即基底表示出来的基础.[来源:Z#xx#k.Com]5.平面向量的基本运算①若a=（1x，1y），b=（2x，2y），则a±b=（1x±2x，1y±2y），a=（1x，1y），②若A（1x，1y），B（2x，2y），则AB=（2x-1x，2y-1y）.【规律方法技巧】1．在进行向量的线性运算要能的转化到三角形法、多边形或平行四边形中，运用三角形法则构成“首尾相连”回路，或平行四边形法则，利用三角形中的中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何知识，结合实数与向量的积，逐步将未知向量转化为与已知向量有直接关系的斜率求解.2．当M是线段AB的中点时，则OM=1()2OAOB是中点公式的向量形式，应当做公式记忆.3．当已知向量的坐标或易建立坐标系时，常用向量的坐标运算解向量的线性运算问题.【考点针对训练】1.【宁夏石嘴山市第三中学2017届高三四模】设D为ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则A.1162BOABACB.1162BOABACC.5166BOABACD.5166BOABAC【答案】D【解析】由题意：11513266BOABACABABAC.本题选择D选项.2.【四川省大教育联盟2017届高中毕业班第三次诊断】在直角梯形ABCD中，ABAD，ADBC，22ABBCAD，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的圆交AB于G，点P在DG上运动（如图）.若APAEBF，其中，R，则6的取值范围是（）A.1,2B.2,22C.2,22D.1,22【答案】C【解析】建立如图所示的坐标系，则0,0A，2,0B，2,1E，2,2C，0,1D，31,2F，设cos,sinP，其中02，cos,sinAP，2,1AE，31,2BF，∵APAEBF，∴3cos,sin2,11,2，即2{32cossin，解得1348{1124sincoss