高中数学方差与标准差

课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动1．一组数据的与的差称为极差．最大值最小值2．设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为x，则称s2＝为这个样本的方差，其算术平方根s＝1ni＝1nxi－x2为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差．1ni＝1n(xi－x)2自学导引课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动想一想：1.一组数据众数、中位数、平均数是描述这一组数据的什么量？提示都是描述这一组数据集中趋势的量．2．方差和标准差的大小与数据的波动有何关系？提示方差和标准差值越小，则数据的波动越小．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动名师点睛1．方差、标准差、极差与数据的离散程度数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述，其中极差(全距)是数据组的最大值与最小值的差．它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．方差则反映一组数据围绕平均数波动的大小．为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动2．计算标准差的算法(1)算出样本数据的平均数；(2)算出每个样本数据与样本平均数的差xi－x(i＝1,2，…，n)；(3)算出(xi－x)2(i＝1,2，…，n)；(4)算出(xi－x)2(i＝1,2，…，n)这n个数的平均数，即为样本方差s2；(5)算出方差的算术平方根，即为样本标准差s.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动题型一方差与标准差的计算【例1】已知一个样本为1,3,2,5，x，它的平均数是3，则这个样本的标准差是多少？[思路探索]解法一∵x＝1＋3＋2＋5＋x5＝3，∴x＝4.由方差公式有：s2＝15[(1－3)2＋(3－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝2∴s＝2.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动法二∵x＝1＋3＋2＋5＋x5＝3，∴x＝4，由方差公式的变形形式有：s2＝15(12＋32＋22＋52＋42)－32＝2，∴s＝2.规律方法(1)方差的计算公式有2个都要记熟．s2＝1ni＝1n(xi－x)2＝1ni＝1nxi2－x2.(2)当样本数据有单位时，s2与s单位不同，要注意区别．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动【变式1】如图是某次全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分数和一个最低分后，求剩下数据的方差和标准差.解剩下的5个数为84,84,84,86,87，所以x＝15(84＋84＋84＋86＋87)＝85.方差s2＝15[(84－85)2＋(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.标准差s＝1.6＝2510.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动题型二方差与标准差的应用【例2】从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高(单位：cm)如下：甲：25414037221419392142乙：27164427441640401640问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？[思路探索]本题主要考查利用平均数和标准差、方差分析数据的特征．看哪种玉米的苗长得高，只要比较甲、乙两种玉米苗的均高即可；要比较哪种玉米的苗长得整齐，只要看两种玉米的株高的方差即可，因为方差体现一组数据波动大小的特征．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动解(1)x甲＝110×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝110×300＝30(cm)，x乙＝110×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝110×310＝31(cm)，∵x甲＜x乙，∴乙种玉米的苗长得高．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动(2)s甲2＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝110×(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝110×1042＝104.2(cm2)，s乙2＝110[2×(27－31)2＋3×(16－31)2＋2×(44－31)2＋3×(40－31)2]＝110×1288＝128.8(cm2)，∵s甲2＜s乙2，∴甲种玉米长得齐．即乙种玉米长得高，甲种玉米长得齐．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动规律方法方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情况．方差、标准差越大，数据的离散程度越大；方差、标准差越小，数据的离散程度越小．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动【变式2】对划船运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下：甲：27,38,30,37,35,31；乙：33,29,38,34,28,36.根据以上数据，试判断他们谁更优秀．解根据统计知识可知，需要计算两组数据的x与s2，然后加以比较，最后再作出判断．x甲＝16×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，x乙＝16×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33，课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动s甲2＝16×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]＝16×94＝1523，s乙2＝16×[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]＝16×76＝1223，∴x甲＝x乙，s甲2＞s乙2，由此可以说明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动题型三用样本的数字特征估计总体的数字特征【例3】(14分)为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换，已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表：(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命；(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？审题指导本题考查用各组中值估计总体的平均数及标准差的统计方法．天数151～180181～210211～240241～270灯管数1111820天数271～300301～330331～360361～390灯管数251672课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动[规范解答](1)各组中值分别为165,195,225,255,285,315,345,375，由此可算得平均数约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)．(5分)所以估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天．(6分)(2)将组中值对于此平均数求方差：1100×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2128.60.(10分)故标准差为2128.60≈46(天)．(12分)所以标准差约为46天，故可在222天到314天左右统一更换较合适．(14分)课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动【题后反思】(1)在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．(2)平均数和标准差是工业生产中监测产品质量的重要指标；当样本的平均数或标准差超过了规定界限的时候，说明这批产品的质量可能距生产要求有较大的偏离．应该进行检查，找出原因，从而及时解决问题．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动【变式3】在一批棉花中抽测了60根棉花的纤维长度(单位：mm)，分组与频数如下：[25,65)，10；[65,105)，2；[105,145)，4；[145,185)，3；[185,225)，3；[225,265)，7；[265,305)，8；[305,345)，10；[345,385)，13.试估计这批棉花的纤维的平均长度及标准差．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动解各组中值分别为45,85,125,165,205,245,285,325,365，那么平均数为160(45×10＋85×2＋125×4＋165×3＋205×3＋245×7＋285×8＋325×10＋365×13)＝237(mm)．将组中值对于此平均数求方差：s2＝160[10×(45－237)2＋2×(85－237)2＋4×(125－237)2＋3×(165－237)2＋3×(205－237)2＋7×(245－237)2＋8×(285－237)2＋10×(325－237)2＋13×(365－237)2]＝13216(mm2)，∴标准差s≈114.96(mm)．∴估计这批棉花的平均纤维长度为237mm，标准差约为114.96mm.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动方法技巧平均数与方差的性质及应用平均数与方差有以下性质：若x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，则(1)ax1，ax2，…，axn的平均数为ax，方差为a2s2；(2)x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的平均数为x＋b，方差为s2；(3)ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为ax＋b，方差为a2s2.解题时，如果能正确使用上述性质，可简化计算．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动某校从甲、乙两名优秀选手中选拔1名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表：根据测试成绩，请运用你所学过的统计知识做出判断，派哪一位选手参加比赛更好？[思路分析]题中两组数据都与12比较接近，为计算方便，可分别减去12，得到两组新数据，计算两组新数据的平均数与方差即可比较．测试次数12345678甲选手成绩(s)12.112.21312.513.112.512.412.2乙选手成绩(s)1212.412.81312.212.812.312.5【示例】课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动解已知的两组数据分别减去12，得两组新数据：甲：0.1,0.2,1,0.5,1.1,0.5,0.4,0.2；乙：0,0.4,0.8,1,0.2,0.8,0.3,0.5.容易得出x′甲＝0.5，x′乙＝0.5，∴x甲＝x乙＝0.5＋12＝12.5，两人平均水平一致．∴s甲2＝[(0.1－0.5)2＋(0.2－0.5)2＋(1－0.5)2＋(0.5－0.5)2＋(1.1－0.5)2＋(0.5－0.5)2＋(0.4－0.5)2＋(0.2－0.5)2]÷8＝0.12，s乙2＝[(0－0.5)2＋(0.4－0.5)2＋(0.8－0.5)2＋(1－0.5)2＋(0.2－0.5)2＋(0.8－0.5)2＋(0.3－0.5)2＋(0.5－0.5)2]÷8＝0.1025.∴s甲2＞s乙2，∴乙的成绩更稳定．综上可知，两人平均水平一致，但乙的成绩更稳定，因此派乙去更好．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动方法点评一般地，平均数、方差、标准差具有如下性质：若数据x1，x2，…，xn的平均数是，方差为s2，标准差为s.则新数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数是a＋b，方差为a2s2，标准差为as.特别地，如a＝1，则新数据的方差、标准差与原数据相同，分别为s2，s.因此，当一组数据均较大且接近某个常数时，可先将每个数同时减去这个常数，再计算这组新数据的方差，它与原数据的方差相等.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动单击此处进入活页规范训练