高中数学核心素养的教学与评价 (鲍建生)

高中数学核心素养的教学与评价华东师大数学科学学院鲍建生[e-mail]提纲一．数学核心素养系统二．数学核心素养的教学与评价一、数学核心素养系统1.课程目标通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”）；提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）。在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养。通过高中数学课程的学习，学生能提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神；不断提高实践能力，提升创新意识；认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。2.数学核心素养核心素养行为表现数学抽象形成数学概念和规则形成数学命题与模型形成数学方法与思想形成数学结构与体系逻辑推理发现和提出命题掌握推理的基本形式探索和表述论证的过程构建命题体系交流探索直观想象利用图形描述数学问题利用图形理解数学问题利用图形探索和解决数学问题构建数学问题直观模型核心素养行为表现数学建模发现和提出问题建立模型求解模型检验结果和完善模型数学运算理解运算对象掌握运算法则探索运算思路设计运算程式数据分析数据获取数据分析知识构建2.1例说数学核心素养：数学抽象内涵（过程）：数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征。学科价值：数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。育人价值（素养）：通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系（能力），积累从具体到抽象的活动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方式思考并解决问题。——《高中数学课程标准》2.2样例：函数单调性为什么要讨论函数单调性？学生已经具备了什么样的相关经验？如何刻画函数的单调性？(为什么用符号语言)函数单调性的抽象过程(1)在初中阶段我们已经学过一次函数、反比例函数和二次函数，请根据函数图像完成下面的填空：当x______________时，y随x的增大而增大；当x______________时，y随x的增大而减小。问题1（从具体函数出发）函数的单调性问题2(1)如何用数学语言表示“y随x的增大而增大”及“y随x的增大而减小”？思路1：利用两点连线与x轴所成的倾斜角思路2：利用两点连线的斜率（导数的几何意义）思路3：自变量与函数值增量的符号（导数的符号意义）思路4：自变量与函数值增量的保号性（单调性的定义）3.数学核心素养系统与原有课标的联系原有体系：11版课标三维目标知识技能（四基）数感符号意识空间观念几何直观数据分析观念运算能力推理能力模型思想应用意识创新意识数学思考问题解决（四能）情感态度原有体系：04版高中三维目标知识与技能过程与方法情感、态度、价值观四基空间想像抽象概括推理论证运算求解数据处理基本能力问题解决应用创新兴趣、信心等四能三用二、数学核心素养的教学与评价1.关于数学核心素养的基本假设①数学教学是数学活动的教学；②数学素养在特定的、情境化的、综合性的数学活动中形成与发展、表现与评价；③数学素养离不开数学“四基”的教学；④数学素养是一个阶段性教学目标（单元设计）⑤数学素养之间有较高的相关性，设计综合性、开放性的数学任务是培养和测量数学素养的有效途径；⑥数学素养是按照水平逐步提高的，不同的人在数学素养上也有不同的特点；⑦对数学素养的评价需要改进评价工具和方式。1.1加强数学活动的设计教学设计任务设计活动设计数学过程课堂互动合作学习工具使用交流反思过程1：对问题情境的数学化1.确定现实情境中一个问题的数学特征及关键变量;2.确认问题或情境中的数学结构（包括规律、关系和模式）;3.简化一个情境或问题，使其更有利于数学分析;4.在建模过程中弄清各种限制和假设，并逐步简化背景;5.利用恰当的变量、符号、图表和标准模型对问题情境进行数学表征;6.用不同的途径描述问题，包括数学概念和数学假设的利用;7.理解和解释用于描述同一问题的现实情境语言和数学形式语言之间的关系;8.把问题转译为数学语言或数学表征;9.把问题化归为已知的问题或者数学概念、事实、程序;10.利用技术去凸显隐含在问题情境中的数学关系.过程2：运用数学概念、事实、程序和推理1.设计和实施各种解题策略去发现数学结论;2.利用各种数学工具/技术去获得精确的或近似的结果;3.运用数学事实、规则、算法和结构去发现数学结果;4.能够在解题过程中操作数字、图形、统计数据和信息、代数式和方程、几何表征;5.能够制作数学图表、构造数学对象，并从中提取数学信息；6.在解题过程中利用不同的表征并进行相互转化;7.能够依据数学程序获得结果并将结果一般化;8.能够反思数学的论证过程并解释和判断所得的结果.过程3：解释、应用和评价所得的数学结论1.回到原来的现实背景解释数学结果;2.依据现实背景评价数学结果的合理性;3.理解现实情境是如何影响数学结果和过程，以及如何依据实际情况进行调整和运用;4.解释为什么所得的数学结果对于一个实际情境中的问题来说是有意义的或者无意义的;5.理解数学概念和结果的适用范围和局限性；6.在利用数学模型解决问题时能够评价和确定限制条件.1.2强调单元教学1.在逻辑过程、心理过程、历史过程的基础上梳理本单元的课程发展主线（学习进阶）；2.通过本原性问题的探讨，聚焦本单元的大观念（bigideas）；3.在夯实数学双基的基础上凸显数学核心素养的专项设计；4.优化每个单元的习题系统。1.3创设有意义的问题与情境1.多样化的情境：与学生实际生活有联系的情境，与公共常识或职业领域相关的情境，设计科学知识与现象的情境，数学问题情境；2.有意义的问题：加深对数学的理解，强调通性通法，有助于培养和发展数学核心素养；3.加强数学建模的教学：–作为数学教学途径的建模；–作为数学活动的建模；–作为数学核心素养的建模2.评价理念的转变对教学的评价形成性评价聚焦活动过程专项任务设计关注个性特征与水平差异为了教学的评价教学即评价2.1基于数学核心素养的评价框架2.2评价样例强调–围绕数学的核心概念–突出数学的通性通法–关注数学的本源性问题（数学的生长点）和有意义的问题（蕴含数学概念或思想方法）避免–纯粹的符号游戏，缺乏数学的或实际的意义–独木桥式的解题技巧–反复的机械训练，对题型的死记硬背样例01：代数模型一个学生在排球比赛中弄伤了膝盖。医生为他开了处方，要他每8小时服用440毫克的药片，连续10天。如果他的肾脏8小时后能够过滤掉60%的药片，那么，10天后还有多少药仍留在他的体内a1=440，a2=a1×40%+440，an+1=0.4an+440，1≤n≤31这是一个数列问题，我们用a1表示第一次服药后体内的药量，a2表示第2次服药后体内的药量，an表示第n次服药后体内的药量样例02：影子问题A如图，在广场上，一盏路灯挂在一根10米的电线杆顶上（电线杆的底部记为），假设把路灯看作是一个点光源，身高1.5米的女孩站在离点5米的处.请回答以下问题：1.如果她绕路灯走一个圆圈，其阴影扫过的面积是多少？2.如果她沿一个边长为10、中心在A点的的正方形走一圈，那么其阴影扫过的面积是多少？3.如果她绕一个半径为2的圆周走一圈，那么其阴影扫过的面积是多少？4.如果她绕一个以A为中心，长短轴分别为5和3的椭圆走一圈，建立适当的坐标系，求她的身影的另一端点的轨迹方程。样例03：篮球的影子如图所示，篮球在照射的阳光下会在地面上留下影子．①太阳的光线与篮球相切的切点所组成的是什么图形？②篮球在地面上所形成的影子什么时候是一个圆面，什么时候是一个椭圆面？③当篮球的影子是一个椭圆面时，篮球与地面的切点位于椭圆的什么位置？④当篮子的影子是椭圆面时，证明：太阳光线与篮球相切的切点所在的平面与地面的交线是这个椭圆的一条准线。样例04：街道距离（出租车几何学）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走。如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，用以下的方式定义两点间距离：2121,dABxxyy①在数轴上任意取三点A，B，C，证明：,,,dABdACdCB②从上述距离的定义出发，给出“点到直线的距离”的定义，并计算已知点到已知直线的距离.③画出到定点O(0,0)的距离等于1的点P(x,y)所形成的图形.④画出到定点A(-1,0)和B(1,0)距离之和等于4的点P(x,y)的轨迹.样例05：截面问题在一个密闭透明的圆柱型桶内装了一定体积的水.(1)将圆柱桶分别直立、水平、倾斜放置时，写出水平面可能呈现出的所有几何形状？(2)请分别画出（1）的直观示意图.拓展1：圆锥截面在一个密闭透明的圆锥型容器内装了一定体积的水.(1)将圆锥容器分别直立、水平、倾斜放置时，写出水平面可能呈现出的所有几何形状？(2)请分别画出（1）的直观示意图.拓展2：水槽问题如图是一个密封的水槽，里面注入了一定容量的水。1.是否可以适当的摆放水槽，使得水面成为：正三角形，直角三角形，锐角三角形，钝角三角形，平行四边形，矩形，正方形，菱形，梯形，正五边形，正六边形…2.假设水槽里面的水量是水槽容积的3/4，请在水槽上凿一个小洞，适当摆放水槽后，恰好流掉1/4的水？样例06：热带风暴热带风暴“龙王”于9月26日上午在西北太平洋洋面上生成，27日上午加强为台风．30日下午5点，台风中心移到了我国台湾省花莲市偏东方向大约940公里的洋面上（如图所示），并继续向我国台湾省东部沿海靠近，台风中心于10月２日早晨５时30分到达台湾省花莲市，随后继续向西运动．把台风影响区域的边界近似看成是一个半径为300km的圆，厦门市位于花莲市西340km.台风中心到达厦门后，向北偏西45度方向继续移动，并不断衰减，移动速度下降为18km/h，受台风影响区域的半径每小时平均减少4km.①为了预防台风造成灾害，根据以上信息，请估计台风对厦门开始发生影响(台风圈的边缘到厦门)的时刻和台风中心到厦门的时刻;②南昌位于厦门北偏西30°，相距500公里，请说明这个台风对南昌是否有影响?样例07：投资的收益率【问题情境】假设某人从事某项投资，他先投入本金a元，得到的利润是b元，收益率是(%)ba；第二次他又投入本金x元，得到的利润是cx元。问：（1）计算此人两次投资的总收益率；（2）假设在第一次投资的基础，此人每次都定期追加投资x元，得到的利润也是x元，那么他的总收益率是增加了还是减少了？请解释你的结论。（3）从数学角度看，上述问题可以归结为某个函数的单调性问题。请给出这个函数的解析式，并用严格的数学方法讨论这个函数的单调性。bcxax2.3数学素养测试的基本流程数学素养的界定可测量的行为特征数学素养的要素与水平数学素养的评价框架测试卷IRT专项任务设计结果分析题库专家认证欢迎投稿编辑部电子信箱：[e-mail]欢迎关注《数学教学》微信号：shuxuejiaoxuezazhi谢谢！