高中数学概率统计专题

专题二概率统计专题学科网【考点透析】概率统计的考点主要有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归等．学科网【例题解析】学科网题型1抽样方法学科网【例1】在1000个有机会中奖的号码（编号为000999）中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定后两位数为的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是（）学科网A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．以上均不对学科网分析：实际“间隔距离相等”的抽取，属于系统抽样．学科网解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188，288，388，488，588，688，788，888，988．答案B．学科网点评：关于系统抽样要注意如下几个问题：（1）系统抽样是将总体分成均衡几个部分，然按照预先定出的规则从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样方法．（2）系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按事先研究的规则抽取样本．（3）适用范围：个体数较多的总体．学科网例2（2008年高考广东卷理3）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）学科网A．24B．18C．16D．12学科网学科网学科网学科网学科网分析：根据给出的概率先求出x的值，这样就可以知道三年级的学生人数，问题就解决了．学科网解析：C二年级女生占全校学生总数的19%，即20000.19380x，这样一年级和二年级学生的总数是3733773803701500，三年级学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生应是64500162000．答案C．学科网点评：本题考查概率统计最基础的知识，还涉及到一点分析问题的能力和运算能力，题目以抽样的等可能性为出发点考查随机抽样和分层抽样的知识．学科网例3．（2009江苏泰州期末第2题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在2500,3500（元）月收入段应抽出人．学科网学科网分析：实际上是每100人抽取一人，只要把区间内的人数找出来即可．学科网一年级二年级三年级女生373xy男生377370z解析：根据图可以看出月收入在2500,3500的人数的频率是学科网0.00050.00035000.4，故月收入在2500,3500人数是100000.44000，学科网故抽取25人．学科网点评：本题把统计图表和抽样方法结合起来，主要目的是考查识图和计算能力．学科网题型2统计图表问题学科网例4（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第2题）从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右图：若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为学科网学科网A．10B．20C．8D．16学科网分析：根据图找出视力在0.9以上的人数的频率即可．学科网解析：B．视力住0.9以上的频率为(10.75.025)0.20.4，人数为0.45020．学科网点评：在解决频率分别直方图问题时容易出现的错误是认为直方图中小矩形的高就是各段的频率，实际上小矩形的高是频率除以组距．学科网例5（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第13题）某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是；众数是．学科网学科网分析：根据茎叶图和中位数、众数的概念解决．学科网解析：由于中位数是把样本数据按照由小到大的顺序排列起来，处在中间位置的一个（或是最中间两个数的平均数），故从茎叶图可以看出中位数是23；而众数是样本数据中出现次数最多的数，故众数也是23．学科网点评：一表（频率分布表）、三图（频率分布直方图、频率折线图、茎叶图）、三数（众数、中位数、众数）和标准差，是高考考查统计的一个主要考点．学科网例5（2008高考广东文11）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为45,55，55,65,65,75,75,85，学科网85,95由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在55,75的人数是．学科网学科网分析：找出频率即可．学科网解析：200.0400.00251013．学科网点评：本题考查频率分布直方图，解题的关键是明确这个直方图上的纵坐标是频率/组距，得出生产数量在55,75的人数的频率．学科网题型3平均数、标准差（方差）的计算问题学科网例6（2008高考山东文9）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（）学科网学科网A．3B．2105C．3D．85学科网分析：根据标准差的计算公式直接计算即可．学科网解析：平均数是5204103302301103100，学科网标准差是学科网222222053104330333023101310080103040821010055s．学科网答案B．学科网点评：本题考查数据组的平均数和标准差的知识，考查数据处理能力和运算能力．解题的关键是正确理解统计表的意义，会用平均数和标准差的公式，只要考生对此认识清楚，解答并不困难．学科网例7．（中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试理科第9题）若数据123,,,,nxxxx的平均数5x，方差22，则数据12331,31,31,,31nxxxx的平均数为，方差为．学科网分析：根据平均数与方差的性质解决．学科网解析：16,18学科网例8．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第3题）如图是2009年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为学科网A．84，4.84B．84，1.6C．85，1.6D．85，4学科网学科网解析：C学科网题型4用样本估计总体学科网例8（2008高考湖南文12）从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人．学科网解析：60由上表得23211500023060.500学科网点评：考查样本估计总体的思想．学科网题型5．线性回归分析学科网例9．（2007高考广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据学科网x3456y2.5344.5（1）请画出上表数据的散点图；学科网（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回归方程ybxa；学科网（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤；试根据（２）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？学科网分析：本题中散点图好作，本题的关键是求y关于x的线性回归方程ybxa，它既可以由给出的回归系数公式直接计算，也可以遵循着最小二乘法的基本思想――即所求的直线应使残差平方和最小，用求二元函数最值的方法解决．学科网解析：学科网（1）散点图如右；学科网（2）方法一：设线性回归方程为ybxa，则学科网222222222(,)(32.5)(43)(54)(64.5)42(1814)(32.5)(43)(54)(64.5)fabbabababaaabbbab学科网∴793.54.52bab时，(,)fab取得最小值2222(1.51)(0.50.5)(0.50.5)(1.51)bbbb，学科网即22250.5[(32)(1)]572bbbb，∴0.7,0.35ba时,fab取得最小值．学科网所以线性回归方程为0.70.35yx．学科网方法二：由系数公式可知，266.544.53.566.5634.5,3.5,0.758644.5xyb学科网93.50.70.352a，所以线性回归方程为0.70.35yx．学科网（3）100x时，0.70.3570.35yx，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．学科网点评：本题考查回归分析的基本思想．求线性回归方程的方法一这实际上是重复了回归系数公式的推导过程，这里的另一个解决方法是对,fab我们再按b集项，即22222,86(36133)2.5344.5fabbabaaaa，而这个时候，当13336172ab时,fab有最小值，结合上面解法中3.54.5ab时,fab有最小值，组成方程组就可以解出a，b的值；方法二前提是正确地使用回归系数的计算公式，一般考试中都会给出这个公式，但要注意各个量的计算；最后求出的19.65是指的平均值或者是估计值，不是完全确定的值．对于本题我们可以计算题目所给的数据组的相关系数0.9899r，相关指数20.98R．这说明x，y具有很强的线性相关性，说明解释变量对预报变量的贡献率是98%，即耗煤量的98%是来自生产量，只有约2%来自其它因素，这与我们的直观感觉是十分符合的．本题容易用错计算回归系数的公式，或是把回归系数和回归常数弄颠倒了．学科网例10．（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试第17题）为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩．学科网数学888311792108100112物理949110896104101106（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；学科网（2）已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．学科网分析：成绩的稳定性用样本数据的方差判断，由物理成绩估计数学成绩由回归直线方程解决．学科网解析：（1）12171788121001007x；学科网69844161001007y；学科网2994==1427S数学，2250=7S物理，学科网从而22SS数学物理，所以物理成绩更稳定．学科网（2）由于x与y之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到497ˆˆ0.5,1000.510050994ba，线性回归方程为0.550yx．当115y时，130x．建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高．点评：《考试大纲》在必修部分的统计中明确指出“①会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程”．2007年广东就以解答题的方式考查了这个问题，在复习备考时不可掉一轻心．题型6古典概型与几何概型计算问题例11（2008高考江苏2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率．分析：枚举基本事件总数和随机事件所包含的