高中数学正弦函数的图象与性质

正弦函数的图象与性质主讲者:王老师1.正弦函数的精确定义2.正弦函数的图像3.正弦函数的性质4.正弦函数图像的左右上下平移及其推广5.正弦型函数与正弦函数的坐标变换回顾前面学过的三角函数定义,称为正弦函数,如果取,将会得到正弦函数的精确定义。如图所示的坐标系,这是一个单位圆,我们把规定了方向的线段叫做有向线段，有向线段MP的数量记为MP.yxxO-1PMA(1,0)sinry1r如果MP的方向和y轴方向一致，MP为正，如果MP的方向和y轴方向相反，MP为负。那么有向线段MP的数量与sin有什么关系？MP的符号和点P的纵坐标的符号相同，即sin=y=MP.我们知道幂函数、指数函数、对数函数，他们都是精确定义。xyxayxyalog用x代替α，正弦符号后面的角x采用弧度制，这就和函数值实数十进制是一致的。通过角终边的旋转可知，自变量的取值范围是全体实数，再从正弦线的大小可知，函数值的取值范围是[-1，1]。1,1sinyRxxy2.正弦函数的图象x6yo--12345-2-3-41y=sinxx[0,2]y=sinxxR正弦曲线yxo1-122322(2,0)(,-1)23(,0)(,1)2正弦函数的图象1)图象作法---五点法2)正弦曲线x6yo--12345-2-3-41(0,0)3.正弦函数的性质观察图像，y=sinx的定义域：Ry=sinx的值域为[-1,1]。那么正弦函数还有哪些性质呢？观察正弦曲线，每隔2个单位长度，其图像有什么变化？从三角函数诱导公式也可得出，对于任意一个角x，都有特别的，当k=1时，有若记,,则对任意sin(2)sinxkxsin(2)sinxx()sinfxxxR(+2)()fxfx周期性的定义对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.由此可知，正弦函数y=sinx是周期函数，且以及都是正弦函数周期。思考：一个周期函数的周期有多少个？一般地，如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.如无特殊说明，我们指的周期就是最小正周期。2,4,6,....2,4,6,....正弦函数的性质结论：正弦函数是奇函数。奇偶性一般地,•如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有•f(-x)=f(x)，那么就说f(x)是偶函数•如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有•f(-x)=-f(x)，那么就说f(x)是奇函数（1）观察正弦函数图象是否关于原点对称？（2）正弦函数在长度为的区间内具有怎样的单调性？23-22，(2,0)(,-1)23(,0)(,1)2(0,0)x6yo--12345-2-3-41[2k,2k](),11;223[2k,2k](),1122kZkZ正弦函数y=sin上是单调递增的从到上是单调递减的从到x在[,],22x11;3[,],22x11;正弦函数y=sinx在上,图像随x的增大呈上升趋势y值随的增大从增大到上，图像随x的增大呈下降趋势y值随的增大从减小到-2k(),y232k(),y2xkZxkZ当正弦函数=sinx取得最大值1。当正弦函数=sinx取得最小值-1。正弦函数的对称轴方程是kx2)3sin(),4sin(xyxy结论：的图象，可以看作是把正弦曲线上的所有的点向左（）或向右（）平行移动个单位长度而得到.sin()yx(0)00xysin?sin()yx如一些复合的二次函数、指数函数、对数函数等，只要画出基本函数图像，把基本函数图像平移就可以得到新的函数图像。bxfyxyeyxyxaxfy1log,,2212再画出以下函数图像，观察图像可总结上下平移规律。bxfyaxfyxyyxyxynxymxyxyxyx,.2log,12,2,1.sin,sin.2sin,1sin222画出函数y=1+sinx，x[0,2]的简图：xsinx1+sinx22302010-1012101o1yx22322-12y=sinx，x[0,2]y=1+sinx，x[0,2]步骤：1.列表2.描点3.连线观察下列正弦型函数,是由正弦曲线怎样得到的?先平移再缩小或扩大横坐标,或先伸缩横坐标再平移都可以.3)43sin(2)3(421sin(2)42sin)1(xyxyxy-110π2ππ23π2yxπ43π43π4πy=sinxy=sin12xy=sinx2在函数],0[2sinxxy的图象上，横坐标为20x的点的纵坐标，0x的点的纵坐标相等。同正弦曲线上横坐标为因此，函数Rxxy2sin的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变而得到的。类似地，Rxxy21sin的图象，函数可以看作把正弦曲线上所有倍，纵坐标不变而得到的。横坐标伸长到原来的2点的小结：Rxxysin）且（其中10xysinxysin当ω＞1时，纵坐标不变xysin当０＜ω＜1时，横坐标伸长到原来的倍1横坐标缩短到原来的倍1xysin纵坐标不变练习：1．为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上的所有的Rxxy,5sin点的（）A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变．B．横坐标缩短到原来的51倍，纵坐标不变．C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变．D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变．51A点的（）2．为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上的所有的Rxxy,sin41A．横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变．B．横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变．41C．纵坐标伸长到原来的4倍,横坐标不变．D．纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变．41D3．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图．并总结由正弦曲线怎样得到.Rxxy,sin23⑴Rxxy,4sin⑵Rxxy,2sin4⑷Rxxy,31sin2⑶解：-110π2ππ23π22-2yx⑴⑵-110π2yxπ4π83π8⑷102yxπππ43π443-1-2-4-32⑶-1103π23π2-2yx6π9π2