2017年江苏专转本高等数学核心知识点无穷级数第三节 任意项级数,绝对收敛与条件收敛

第三节任意项级数,绝对收敛与条件收敛定义:正、负项相间的级数称为交错级数.nnnu11)1(定理(莱布尼茨判别法)如果交错级数满足条件)0(nu其中（1）1nnuu,即}{nu单调减少；（2）0limnnu,则交错级数11)1(nnnu收敛,且其和1uS.称莱布尼茨型级数1由条件(1)可知,mmmmuuuuuuuuS21222543212)()()(1u,即}{2mS有上界,故}{2mS收敛,记SSmm2lim,显然有1uS.而12212mmmuSS,由条件(2)可知,SSmm12lim,得SSnnlim,即原级数收敛,且其和1uS.,)()()(21243212mmmuuuuuuS证所以}{2mS单调不减；kkuu212,另一方面,2nnnu11)1(定理(莱布尼茨判别法)如果交错级数满足条件)0(nu其中（1）1nnuu,即}{nu单调减少；（2）0limnnu,则交错级数11)1(nnnu收敛,且其和1uS.注意：莱布尼兹判别法所给的条件只是交错级数收敛的充分条件，而非必要条件.3n1单调减少,且01limnn,111)1(npnn例141312111)1(11nnn解这是交错级数,由莱布尼茨定理知，级数收敛。一般地，称为交错p—级数.当0p时，,01lim1pnpnn单调减少且所以级数收敛。4判别级数21)1(nnnn的收敛性.解,1)(xxxf设)2(x,1单调减少故函数xx1limlimnnunnn又,0所以级数收敛.所以数列1nn单调减少,例22)1(2)1()(xxxxf则,05定义：正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.例如,1211)1(nnn绝对收敛,而111)1(nnn条件收敛.定义若1||nnu收敛,则称1nnu绝对收敛；若1nnu收敛,但1||nnu发散,则称1nnu条件收敛.6若1||nnu收敛,则1nnu收敛.证明令)|(|21nnnuuu即1nnu为1nnu的所有非负项组成的级数,显然||nnuu,1nnu收敛,而||2nnnuuu,由1||nnu的收敛性可知,1nnu收敛.，0,00,nnnuuu,2,1n定理：由正项级数的比较判别法可知,7上定理的作用：任意项级数正项级数(1)定理不可逆,如111)1(nnn收敛,但11nn发散;(2)若1||nnu发散,不能推出1nnu发散,但如果是用比值判别法或根值判别法判定1||nnu发散,则立刻可以断定1nnu发散，从而nu也不趋向于零.说明:一般项||nu不趋向于零,这是因为它们的依据是如上例；8因为221sinnnn,而121nn收敛,例3例412sinnnn的绝对收敛,条件收敛或发散性.判定解故原级数绝对收敛.121131)1(nnnnn判定的绝对收敛,条件收敛或发散性.解nnnnu)11(31e31n，1绝对收敛.9若1,则原级数发散；若1,原级数为1)1(npnn,因此当1p时绝对收敛；当10p时条件收敛.设0,0p,讨论1)(npnn的收敛性.nnppnnn)()()1(lim1,若1,则原级数绝对收敛；例5解nnnuu1lim10敛？是条件收敛还是绝对收敛？如果收敛，是否收判断级数1ln)1(nnnn例6解,11发散而nn,ln1ln)1(11发散nnnnnnn即原级数非绝对收敛;xxnnxnlnlimlnlim,01limxxnnnn1ln1limnnnln11lim,111,ln)1(1级数是交错nnnnnnnln1lim,)0(ln)(xxxxf令,)1(011)(xxxf则nnnnln11lim,0,),1()(上单增在xf,1ln1时单减当故数列nnn由莱布尼茨定理,此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．12讨论级数)1(111xxnn的收敛范围.若1x,所以级数发散；则0111limnnx,若1x,则1111limlimnnnnnnxxuu故原级数绝对收敛；最后,若1x,则21nu,发散.所以级数的收敛范围为1x.例7解x1，113小结正项级数任意项级数判别法4.充要条件5.比较法6.比值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;1.;,则级数收敛若SSn;,0,则级数发散当nun2.7.根值法14思考题设正项级数1nnu收敛,能否推得12nnu收敛?反之是否成立?若是任意项级数呢?15解答若1nnu收敛，nnnuu2limnnulim由比较审敛法知收敛.12nnu，0如1)1(nnn收敛,但11nn发散.反之不成立.例如：121nn收敛,11nn发散.设1nnu是正项级数，若为任意项级数,则由收敛不能推出收敛.12nnu1nnu16