相对论第三章

LiaoningUniversity第三章广义相对论的基本原理§3.1广义协变性原理§3.2等效原理§3.3等效原理的简单应用§3.4度规与引力势LiaoningUniversity引言爱因斯坦的狭义相对论这一划时代的重要理论，是现代物理学的重要支柱之一。但它应有两个问题没有解决：其一，按狭义相对性原理，一切惯性参照系等效，即物理规律在所有的惯性系中都具有完全相同的形式。狭义相对论仅对惯性系适用。那么自然界中哪些参照系是惯性系？为什么惯性系在描述物理规律方面居于优越地位？LiaoningUniversity其二，按狭义相对论要求，所有的物理规律都应符合洛仑兹（Lorentz）协变性，而且一切相互作用都不能是超距作用。但是，牛顿引力理论却不满足这一要求，它不仅存在着理论上的困难，而且在天文观测上也有不能圆满解释的问题，例如水星近日点的进动问题。LiaoningUniversity上述两个问题从表面上看似乎没有什么联系，而实质上却深刻地联系在一起。运用等效原理和广义相对性原理就能突破惯性系的局限，克服牛顿引力理论上的困难。对上述两个问题做出统一的解释，由此而建立起来的新理论就是广义相对论。所以，广义相对论既是狭义相对论的发展，也是对牛顿引力理论的深化。LiaoningUniversity§3.1广义协变性原理1.相对性原理众所周知，牛顿力学仅限于惯性系中成立，而两个相对作匀速直线运动的惯性系之间的时空关系可有伽利略变换表示：''''xxvtyyzzttLiaoningUniversity容易验证，若牛顿力学规律对其中任何一个参照系成立，那么对另一个参照系也成立。这叫做牛顿力学规律对伽利略时空变换的协变性，也称为力学的相对论原理。它告诉我们，虽然惯性系有无限多个，但不同的惯性系对力学问题是完全等价的。LiaoningUniversity十九世纪末确立的电磁学基本规律，即麦克斯韦（Maxwell）方程组对伽利略时空变换是不协变的，这个事实暗示了两种可能：一、相对性原理对电磁学不适用，空间存在着一个“真正”的惯性系（即以太）。二、相对性原理对电磁学仍适用，而伽利略时空变换或麦克斯韦方程组需要改进。迈克尔逊—莫雷（Michelson—Morley）实验否定了第一种可能的存在。留下的问题是如何改进伽利略变换或麦克斯韦方程组。LiaoningUniversity爱因斯坦从光速不变原理导出了一个新的时空关系（Lorentz变换）：'22''2'2211xvtxvcyyzzxvtctvc在vc时，它还原为伽利略变换。爱因斯坦证明了电磁规律对于洛仑兹变换是协变的。LiaoningUniversity此后，他又修正了牛顿力学，使它对洛仑兹变换也协变。修正的结果后来被实验所证实。这说明相对性原理对于力学和电磁学都是适用的。在这一基础上，爱因斯坦把它推广为一条普遍性原理：所有的基本规律都在任一惯性系中具有相同的形式。这就叫狭义相对性原理。LiaoningUniversity按着狭义相对性原理，各个惯性系完全等价。这样在原则上就不可能用物理实验来判断哪个惯性系是真正静止的。在众多的相对作匀速运动的惯性系中，哪些静止，哪些运动，速度多大，完全只有相对的意义。因此，狭义相对性原理说明了速度的相对性。LiaoningUniversity2.惯性系的疑难既然物理规律仅限于惯性参考系中成立，就自然产生这样的问题，自然界中哪些参考系是惯性系？LiaoningUniversity通常的惯性系定义不受外力作用的物体，在其中保持静止或匀速直线运动状态不变的坐标系。但是，什么是不受外力作用呢？当物体在惯性系中保持静止或匀速直线运动状态不变时，它就不受外力作用。由此可见，惯性系与不受外力构成了循环定义。实际上，狭义相对论无法定义惯性系。作为狭义相对论基础的惯性系竟然无法严格定义，不能不说是理论上的严重缺陷。LiaoningUniversity现实的参照系都不是严格的惯性系地面上的实验室参照系不是严格的惯性系。地球围绕其地心有自转，围绕太阳有公转，其加速度约为3.4×10－2m/s2。太阳又在绕银河中心转动，其加速度约为3.0×10－10m/s2，所以太阳也不是严格的惯性系，尽管它比地面参照系更接近惯性系。由于各星系间的万有引力，银河系也必然作加速运动，或许这个加速会更小些，但它终究也不是严格的惯性系。LiaoningUniversity由此可见，由于物质间引力的普遍存在，任一物质参照系总有加速度，因而总不会是严格的惯性系。只不过尺度越大，物质越稀疏。引力越弱，因而能找到更好的近似惯性系。LiaoningUniversity上述原因使爱因斯坦突破了惯性系的局限性，将狭义相对论原理推广为广义相对论原理：一切参照系都是平权的。或者说，客观的物理规律应在任意坐标变换下保持形式不变。LiaoningUniversity在狭义相对论中，用四维正交矢量或张量表示物理量或物理公式，从一个惯性系向另一个惯性系变换时，经过洛仑兹变换，公式的形式保持不变，这叫洛仑兹协变性。在广义相对论中，要用黎曼张量表示物理量和物理公式，使物理规律表示为对任何坐标变换保持不变的形式，即广义协变形式，这叫广义协变性原理，它是广义相对性原理更确切的陈述。LiaoningUniversity§3.2等效原理广义相对性原理否定了惯性系的优越地位。认为一切参照系（包括惯性系，非惯性系）都是等价的。但是，在牛顿力学中，用非惯性系讨论问题就必然涉及惯性力。因此要将惯性系与非惯性系看成是等价的，就应重新考虑惯性力的本质问题。能够成功解决这一问题的就是等效原理。在介绍等效原理之前，首先讨论惯性质量与引力质量的等同性。LiaoningUniversity1.引力质量与惯性质量一切物质都具有两种最根本的力学属性即惯性与引力。由牛顿第二定律可定义物体的惯性质量，它是物体惯性大小的量度，反映了物体对加速度的阻抗。iFamLiaoningUniversity由万有引力定律(1)(2)2ggmmFGr可以定义物体的引力质量，它是物体引力属性的量度，反映了物体产生与承受引力的本领。LiaoningUniversity•显然，物质的这两种属性，从它们的物理本性上说是完全不同的。无法预先期望它们之间存在着任何联系。•为了更清楚地理解这一点，我们将它同电磁作用类比，惯性质量为mi的电荷q，在电场中所受的力为：()iqmvFaEBcLiaoningUniversity电荷在电磁场中所受的力由电荷q决定，而受这一作用所产生的加速却由惯性质量mi决定，显然q与mi毫无关系。尽管从概念上说，物质的引力质量与惯性质量是完全不同的，但是实验事实证明，二者的量值相等。现将这方面的实验结果汇集如下：LiaoningUniversity实验者方法精度Newton（1686）单摆10-3Bessel（1832）单摆2×10-5Eötvös，Pekar,andFekete(1922)扭秤5×10-9Potter(1923)单摆2×10-5Penne(1935)扭秤2×10-9Roll,Krtkov,andDicke(1964)扭秤10-11BraginskyandPanov(1972)扭秤10-12Koester(1976)自由落体3×10-4Worden(1978)磁体悬挂10-4KeiserandFaller(1979)水上浮体4×10-11Worden(1978)轨道上的自由运动10–15－10-18LiaoningUniversity•总之，对于一切物质（包括辐射能，引力自能）而言，均有•这一恒等关系在牛顿力学中纯属巧合，没有什么意义。•但是，在广义相对论中，它反映了同一地点的不同物体的下落加速度相同；反映了引力作用与其它基本相互作用的根本区别。引力质量与惯性质量相等构成了广义相对论的全部论证的基础。igmmLiaoningUniversity2.等效原理•前面提到，将狭义相对论原理推广为广义协变性原理的关键在于如何重新看待惯性力，这一问题同惯性质量与引力质量相等密切相关。•按爱因斯坦的假想实验。设想在远离一切天体的太空中漂浮着密封的箱子，它不受引力和其他作用影响，这时箱子没有上下之分。箱子中的人手持苹果，当其手松开后，苹果仍然漂浮在空中静止不动。可见，建立在箱子中的参考系是惯性系。•现在假设箱子中的人发现悬浮在空中的苹果突然以一定的加速度向一方逸去，箱子变有上下之分。针对这一现象，箱子中的人会作出两种可能的解释：LiaoningUniversity•若凭着引力场中的经验，他可能认为箱子的一方存在着引力源而在箱内产生了引力场，苹果下落就是因受该引力场的作用，其运动符合力学规律，箱子仍是惯性系；•他也可能认为，箱子外面没有引力源，箱内没有引力场，箱内苹果的下落反映了箱子在空中以一定的加速度向上飞行，即下落是由惯性系造成的，箱子成了加速系。LiaoningUniversity•由此可见，箱内的人无法借助力学实验来区别引力的作用效果与惯性力的作用效果。这种引力与惯性力对力学现象的等效性称为弱等效原理。•由于引力正比于引力质量，惯性力正比于惯性质量，所以引力与惯性力对力学现象的等效性即弱等效原理仅仅是引力质量与惯性质量相等的一个推论。•爱因斯坦对弱等效原理作了进一步的推广，他认为不仅对力学现象，而且对一切物理现象来说，均匀引力场中的惯性系与无引力场中的加速系（加速度与引力反向）之间是无法区别的，即引力与惯性力的任何物理效果都是等效的，这就是强等效原理。强等效原理是一个更深刻的假定。LiaoningUniversity•为了将强等效原理表示为更准确、实用的形式，考虑引力场中自由下落的爱因斯坦电梯。只要电梯足够小，总可以假定电梯范围内的引力场是均匀的。•如果以电梯为参照系，其内部空间的引力和惯性力正好抵消。电梯内的观察者将会发现，他所做的任何力学实验都不可能显示出电梯在引力场中的降落，力学规律在这个自由下落的电梯中完全有效。•按着强等效原理的思想，他所做的电磁实验及其他物理实验也无法说明电梯在引力场中的加速运动，电磁学规律在这个自由下落的电梯参照系中也同样适用。•强等效原理可更准确地表示为：在任何引力场中任一时空点总能建立一个自由下落的局部参照系，其中狭义相对论所确立的物理规律全部有效。LiaoningUniversity3.等效原理的三点讨论（1）引力与惯性力的等效性仅限于局部•例如，惯性离心力是与轨道半径r成正比的，而引力则与半径平方成反比，所以，二者之间只能在无穷小的局部等效。•再如，匀加速力场与引力场的等效性也是局部的，匀加速力场的力线是均匀的，而一切真实的引力场的力线是汇聚的，二者是可以区别的，只有在局部范围内才可以建立二者之间的等效性。222rvFmmmrrr(1)(2)2ggmmFGrLiaoningUniversity（2）局部惯性系•在消除引力场的时空点邻域内，狭义相对论是严格成立的。建立在这里的参照系叫做局部惯性系。引力场中的自由下落的电梯，在轨道上运行的卫星，飞向行星的飞船，关闭火箭的航天飞机，它们都只靠引力做自由飞行，都是局部惯性系（不考虑旋转）。注意，消除引力场的范围只限于时空点的充分小的邻域内。由此可见，惯性系的概念已经发生了变化LiaoningUniversity•牛顿力学及狭义相对论认为惯性系就是自身没有加速度的参照系，这个概念是无法确切定义的，因为自然界中找不到一个基本的无加速系。•现在依据等效原理可知，惯性系就是不存在引力场的参照系。用旧概念来讲，就是引力与惯性力相抵消的参照系，即引力场中做自由运动的参照系（不旋转）。这样的惯性系只能在局部上实现。•注意，按着这种新观念，一个静止在恒星表面上的参照系反而不是惯性系了。•尽管引力能在局部惯性系中消除，但是仍然可从各局部惯性系之间的联系中找到引力作用，它使得各局部惯性系之间具有相对加速度。•在狭义相对论中各惯性系之间是没有相对加速度的。LiaoningUniversity（3）永久引力场与非永久引力场的区别a.通过一个从