东北大学概率论与数理统计课后习题答案

习题选解第一章习题1.1(第7页)=1,2,3,4,5,6,A={1,3,5}.1.用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A:(1)抛一颗骰子,观察向上一面的点数,A表示“出现奇数点”.(2)对一个目标进行射击,一旦击中便停止射击,观察射击的次数,A表示“射击不超过3次”.(3)把单位长度的一根细棒折成三段,观察各段的长度,A表示“三段细棒能构成一个三角形”.=1,2,3,…，A={1,2,3}=(a,b,1－a－b)|a,b0且a+b1,2.把表示成n个两两互不相容事件的和。A={(a,b,1－a－b)|0a,b0.5且a+b0.5}=(a,b,c)|a,b,c0且a+b＋c＝1,={(a,b,c)|0a,b,c0.5且a+b＋c＝1}解n＝2时,niiA1n＝3时,)()(12112121AAAAAAAA])([)(213121321AAAAAAAAA一般地,)()(213121AAAAAA)()()(1212131211nnniiAAAAAAAAAAA121123121AAAAAAAAAAnnn3.在某班学生中任选一个同学,以A表示选到的是男同学,B表示选到的人不喜欢唱歌,C表示选到的人是运动员.(1)表述ABC及ABC;(2)什么条件下成立ABC=A?ABC表示:选到的是不喜欢唱歌不是运动员的男同学.成立的条件是:男同学一定是不喜欢唱歌的运动员.ABC表示:选到的是喜欢唱歌的男运动员同学.(3)何时成立成立的条件是:非运动员同学一定不喜欢唱歌.?BC(4)何时同时成立A=B与A=C?成立的条件是:男同学都不是运动员都不喜欢唱歌，女同学都是喜欢唱歌的运动员.AB+AC+BCABCA+B+C4.设A,B,C为三个随机事件,用A,B,C的运算及关系表示下列各事件:(1)A发生,B与C不发生;(2)A和B都发生,而C不发生;(4)A,B,C都发生;(3)A,B,C至少有一个发生;(8)A,B,C至少有二个发生;CABCBACBA(5)A,B,C都不发生;(6)A,B,C不多于一个发生;CBACBACBACBA(7)A,B,C不多于两个发生;ABCBCACAB或CBCABA或CBA或A或－(B+C)A或B－CABC或(6)或事件的非事件ABC或第一章习题1.2(第12页)1.某城市共发行三种报纸A,B,C,已知城市居民订购A的占45%,订购B的占35%,订购C的占30%,同时订购A与B的占10%,同时订购A与C的占8%,同时订购B与C的占5%,同时订购A,B,C的占3%,求下列事件的概率:(1)只订购A;(2)只订购A与B;P(A－(B+C))=P(A)－P(A(B+C))=P(A)－P(AB)－P(AC)+P(ABC)=0.45－0.1－0.08+0.03=0.3P(AB－C)=P(AB)－P(ABC)=0.1－0.03＝0.071.某城市共发行三种报纸A,B,C,已知城市居民订购A的占45%,订购B的占35%,订购C的占30%,同时订购A与B的占10%,同时订购A与C的占8%,同时订购B与C的占5%,同时订购A,B,C的占3%,求下列事件的概率:(3)只订购一种报纸;由(1)知:P{只订购A}=P(A)－P(AB)－P(AC)+P(ABC)＝0.3同理,P{只订购B}=P(B)－P(AB)－P(BC)+P(ABC)＝0.23或P=P(A+B+C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)＋2P(ABC)P{只订购C}=P(C)－P(AC)－P(BC)+P(ABC)＝0.2所以,P{只订购一种报纸}=0.3＋0.23＋0.2＝0.73=P(A)+P(B)+P(C)－2P(AB)－2P(AC)－2P(BC)＋3P(ABC)=0.45+0.35+0.3－0.2－0.16－0.1+0.09=0.731.某城市共发行三种报纸A,B,C,已知城市居民订购A的占45%,订购B的占35%,订购C的占30%,同时订购A与B的占10%,同时订购A与C的占8%,同时订购B与C的占5%,同时订购A,B,C的占3%,求下列事件的概率:(4)正好订购两种报纸;P{正好订购A,B}=P(AB)－P(ABC)＝0.07所以,P{正好订购两种报纸}=0.14=P(AB)+P(AC)+P(BC)－3P(ABC)=0.1＋0.08＋0.05－0.09＝0.14P{正好订购A,C}=P(AC)－P(ABC)＝0.05P{正好订购B,C}=P(BC)－P(ABC)＝0.02或直接写出:P{正好订购两种报纸}1.某城市共发行三种报纸A,B,C,已知城市居民订购A的占45%,订购B的占35%,订购C的占30%,同时订购A与B的占10%,同时订购A与C的占8%,同时订购B与C的占5%,同时订购A,B,C的占3%,求下列事件的概率:(5)至少订购一种报纸;P{至少订购一种报纸}=P{只订购一种报纸}+P(ABC)=0.9P{不订购任何报纸}=1－P{至少订购一种报纸}=1－0.9＝0.1＋P{正好订购两种报纸}＋P{订购三种报纸}＝0.9或P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)(6)不订购任何报纸;1.某城市共发行三种报纸A,B,C,已知城市居民订购A的占45%,订购B的占35%,订购C的占30%,同时订购A与B的占10%,同时订购A与C的占8%,同时订购B与C的占5%,同时订购A,B,C的占3%,求下列事件的概率:(7)至多订购一种报纸;P{至多订购一种报纸}或P{至多订购一种报纸}=1－0.14－0.03＝0.83＝P{不订购任何报纸}＋P{只订购一种报纸}=0.1＋0.73＝0.83或=1－P{正好订购二种报纸}－P{订购三种报纸}2.设在统计课考试中,学生A不及格的概率是0.5,学生B不及格的概率是0.2,两人同时不及格的概率是0.1,求:(1)两人中至少有一人不及格的概率;解记A=“学生A不及格”,B=“学生B不及格”，则(1)P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)＝0.5＋0.2－0.1＝0.6(2)P(AB)=P(A+B)=1－P(A+B)=1－0.6=0.4(2)两人都及格的概率;(3)两人中只有一个人不及格的概率;(3)P{只有一人不及格}＝P{至少有一人不及格}－P{两人都不及格}＝0.6－0.1＝0.53.设A,B为两个随机事件,P(A)=0.7,P(A－B)=0.3,求P(AB).解由于P(A－B)=P(A－AB)=P(A)－P(AB)4.设P(A)=P(B)=0.5,证明:P(AB)=P(AB).所以，P(AB)=1－P(AB)=1－0.4＝0.6证明P(AB)=P(A)+P(B)－P(A+B)=1－P(A+B)=P(A+B)=P(AB)7.人体血型的一个简化模型包括4种血型和2种抗体:A、B、AB与O型,抗A与抗B.抗体根据血型与人的血液以不同的形式发生作用.抗A只与A、AB型血发生作用,不与B、O型血作用,抗B只与B、AB型血发生作用,不与A、O型血作用,假设一个人的血型是O型血的概率为0.5,是A型血的概率为0.34,是B型血的概率为0.12,求:(2)一个人的血型与两种抗体都发生作用的概率.(1)抗A,抗B分别与任意一人的血型发生作用的概率;解由已知可得:一个人血型是AB型血的概率为0.04.(1)PA=0.34+0.04=0.38,PB=0.12+0.04=0.16(2)P=0.04第一章章末习题1(第35页)1.已知随机事件A,B满足P(AB)=P(AB),且P(A)=p,求P(B).解由于P(AB)=P(A)＋P(B)－P(A＋B)=P(A)＋P(B)－1+P(A＋B)=P(A)＋P(B)－1+P(AB)所以,P(A)＋P(B)－1=0即,P(B)＝1－P(A)＝1－p第一章习题1.3(第19页)2.在1500个产品中,有400个次品,1100个正品,从中任取200个,求:(1)恰有90个次品的概率;(2)至少有2个次品的概率.解(1)n＝(2)P2=1－P{至多有一个次品},2001500C所以,P1＝n1/n＝1101100904001CCn2001500110110090400CCC=1－P{没有次品}－P{恰有一个次品}20015001991100140020011002001500200150019911001400200150020011001CCCCCCCCCC3.一个口袋里装有10只球,分别编有号码1,2,…,10,随机地从这个口袋取三只球,求:解(1)组合法:n＝(1)最小号码是5的概率;(2)最大号码是5的概率.,310C所以,P1=n1/n＝251Cn08333.01211201031025CC或用排列法:(2)P2=n2/n＝05.0201120631024CC(1)P1=n1/n＝08333.012189104513C(2)P2=n2/n＝05.020189103413C5.进行一个试验:先抛一枚均匀的硬币,然后抛一个均匀的骰子,解(1)设试验是观察硬币正反面和骰子的点数,则={(正面,1点),(正面,2点),(正面,3点),(正面,4点),(正面,5点),(正面,6点),(反面,1点),(反面,2点),(反面,3点),(反面,4点),(反面,5点),(反面,6点),}(2)P=3/12=1/4＝0.25(1)描述该试验的样本空间；(2)硬币是正面且骰子点数是奇数的概率是多少？6.假设2个叫Davis的男孩,3个叫Jones的男孩,4个叫Smith的男孩随意地坐在一排9座的座位上.那么叫Davis的男孩刚好坐在前两个座位上,叫Jones的男孩坐在挨着的3个座位上,叫Smith的男孩坐在最后4个座位上的概率是多少?解n＝所以,P=nA/n=,!999A288123412312An00079365.012601!9288解记两艘船到达泊位的时间分别为x,y,则样本空间为：＝{(x,y)|0x24,0y24},A={(x,y)|(x,y),且－4x－y3}m()=242=576m(A)=242－212/2－202/2xy02424A437.某码头只能容纳一只船.现知某日独立地来两只船,且在24小时内各时刻来到的可能性相等.若它们需要停靠的时间分别为3小时和4小时,那么有一只船需要等待进入码头的概率是多少？=155.5所以,P(A)=155.5/576=0.279.把长度为l的线段任意折成3段,求它们能构成三角形的概率.解记3段长度为x,y,z则有:=(x,y,z)|x,y,z0且x+y+z=l,A={(x,y,z)|0x,y,zl/2且x+y+z=l}xy0zlllm()=m(A)=所以,P(A)=1/4=0.25l2l22223l283l或,第i个部件强度太弱的概率为:第一章章末习题1(第35页)4.50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件的强度就太弱.问发生一个部件强度太弱的概率是多少?,k=323347350CCC13333103474423CCCCCp=350110/CC00051.0196015049483210解n=10,...,2,1,135035033iCCCpi所以,发生一个部件强度太弱的概率为:00051.0103501021Cpppp8.甲、乙两人轮流掷一颗骰子,每轮掷一次,谁先掷出6点谁取胜,若从甲开始,问甲乙取胜的概率各为多少？解由于每轮掷出6点的概率为1/6,掷不出概率为5/6.显然,奇数轮掷出甲取胜,所以甲取胜的概率为:所以,第i轮掷出6点的概率为:乙取胜的概率为:p乙胜＝1－p甲胜＝5/11.,...2,1,61