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第一章解三角形系列丛书进入导航第一章解三角形第一章解三角形系列丛书进入导航1.1正弦定理和余弦定理人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航1.1.1正弦定理课时作业课前自主预习课堂互动探究随堂知能训练人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形．2．能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状.目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航课主自前预习课前预习·········································明确目标人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航1．正弦定理(1)定理：在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比相等，即在△ABC中，asinA＝bsinB＝______.(2)变形：设△ABC的外接圆的半径为R，则有asinA＝bsinB＝csinC＝_____.新知初探正弦csinC2R人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航①a:b:c＝sinA:_____:sinC.②ab＝sinAsinB，ac＝sinAsinC，bc＝______.③asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC.④a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝________.⑤sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.⑥AB⇔ab⇔2RsinA2RsinB⇔sinAsinB.sinBsinBsinC2RsinC人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航2．解三角形一般地，把三角形的三个角和它们的______叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求__________的过程叫做解三角形．对边其他元素人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航思考感悟1．在Rt△ABC中，若C＝90°，你能借助所学知识导出asinA的具体值吗？人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航提示：如图所示，设Rt△ABC的外接圆半径为R，则有ABsinC＝2Rsin90°＝2R，结合正弦定理可知asinA＝bsinB＝csinC＝2R，其中a，b，c分别是角A，B，C的对边．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航2．对定理的证明，课本给出了锐角三角形的情况．对于钝角三角形，应如何证明？提示：当△ABC为钝角三角形时，如图，设∠BAC为钝角，AB边上的高为CD.∵∠BAC＝180°－∠DAC，人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航∴sin∠BAC＝sin(180°－∠DAC)＝sin∠DAC.∴CD＝bsin∠DAC＝bsin∠BAC，且CD＝asinB.∴bsin∠BAC＝asinB，即asin∠BAC＝bsinB.同理：bsinB＝csin∠BCA.综上所述：asinA＝bsinB＝csinC.人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航3．已知三角形的哪几个元素，可以用正弦定理解相应三角形？提示：(1)已知三角形的任意两角和一边，求其它两边和另一角．(2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角，求另一边及另两角．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航课动互堂探究例练结合·········································素能提升人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航类型一已知两角及一边解三角形[例1]在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.[分析]已知两角和一边，可由内角和求第三个角A，再由正弦定理求b，c.典例导悟人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航[解]A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.由正弦定理bsinB＝asinA得，b＝asinBsinA＝8×sin60°sin45°＝46，由asinA＝csinC得，c＝asinCsinA＝8×sin75°sin45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航[点评]已知两角和一边(如B，C，a)，求其他角与边的步骤是：(1)A＝180°－(B＋C)；(2)用正弦定理，b＝asinBsinA；(3)用正弦定理，c＝asinCsinA.人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航变式训练1(1)一个三角形的两内角分别为45°与60°，如果45°角所对的边长是6，那么60°角所对的边的边长为()A．36B．32C．33D．26(2)在△ABC中，若tanA＝13，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航解析：(1)令60°角所对的边为a，则asin60°＝6sin45°，∴a＝36.(2)∵tanA＝13，∴sinA＝1010.由正弦定理知AB＝BCsinA·sinC＝10sin150°＝102.答案：(1)A(2)102人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航类型二已知两边及一边的对角解三角形[例2]下列三角形是否有解？有解的作出解答．(1)a＝7，b＝8，A＝105°；(2)b＝10，c＝56，C＝60°；(3)a＝23，b＝6，A＝30°.[分析]利用三角形中大边对大角定理以及结合有解无解的图形来考虑．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航[解](1)a＝7，b＝8，ab，A＝105°90°，本题无解．(2)b＝10，c＝56，bc，C＝60°90°，本题有一解．∵sinB＝bsinCc＝10·sin60°56＝22，∴B＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°.∴a＝bsinAsinB＝10×sin75°sin45°＝10×6＋2422＝5(3＋1)．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航(3)a＝23，b＝6，ab，A＝30°90°又∵bsinA＝6sin30°＝3，absinA∴本题有两解．由正弦定理得：sinB＝bsinAa＝6sin30°23＝32，B＝60°或120°，当B＝60°时，C＝90°，c＝asinCsinA＝23sin90°sin30°＝43；当B＝120°时，C＝30°，人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航c＝asinCsinA＝23sin30°sin30°＝23.∴B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝23.人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航[点评]本例属于已知两边及其中一边的对角求解三角形的类型．此类问题解的情况如下：A为钝角A为直角A为锐角ab一解一解一解a＝b无解无解一解absinA两解a＝bsinA一解ab无解无解absinA无解人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航变式训练2在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝42，则B＝()A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航解析：由asinA＝bsinB，得sinB＝b·sinAa＝42×sin60°43＝22.∵ab，∴AB，而A＝60°，∴B为锐角，∴B＝45°.答案：C人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航类型三判断三角形的形状[例3]在△ABC中，若sin2A＝sin2B＋sin2C，sinA＝2sinB·cosC，试判断△ABC的形状．[分析]sin2A＝sin2B＋sin2C――→正弦定理a2＝b2＋c2――→B＋C＝90°cosC＝sinB人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航[解]记asinA＝bsinB＝csinC＝k，则sinA＝ak，sinB＝bk，sinC＝ck.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(ak)2＝(bk)2＋(ck)2，人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航即a2＝b2＋c2，A＝90°.∴C＝90°－B，cosC＝sinB.∴1＝sinA＝2sin2B，sinB＝22.∴B＝45°或B＝135°(A＋B＝225°180°，舍去)．∴△ABC是以A为直角的等腰直角三角形．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航[点评]依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航变式训练3已知方程x2－(bcosA)x＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，A，B分别为a，b的对角，试判断△ABC的形状．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航解：设方程的两根为x1，x2，由韦达定理得x1＋x2＝bcosA，x1x2＝acosB.由题意得bcosA＝acosB，由正弦定理得sinBcosA＝sinAcosB，即sinAcosB－cosAsinB＝0.∴sin(A－B)＝0.在△ABC中，A，B为其内角，－πA－Bπ，所以A＝B.即△ABC为等腰三角形．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航易错点：利用正弦定理解三角形易丢解或多解用正弦定理解出一个角的正弦值，可得出对应的两个角，此时可能有一个是不符合题意的，也有可能出现漏解的情况．[错题展示]在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求a.自我纠错人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航[错解]由bsinB＝csinC，得sinC＝32，所以C＝60°，所以A＝90°.由asinA＝bsinB，得a＝6.[错解分析]产生错解的主要原因是没有考虑到C的范围，导致丢解．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航[正解]由bsinB＝csinC，得sinC＝32.因为bc，所以CB＝30°，则C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°；当C＝120°时，A＝30°.再利用正弦定理asinA＝bsinB，解得a＝6或a＝3.人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航1．对正弦定理的理解(1)三角形中各边的长和它所对角的正弦的比值为三角形外接圆的直径2R.即asinA＝bsinB＝csinC＝2R.思悟升华人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航(2)结合(1)的结论由正弦定理可得如下变形：①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.②sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.由变形①②可以实现三角形中边与角之间的相互转化．这是正弦定理除了用于求边、角之外的另一重要功能．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航2．解斜三角形的类型(1)已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解．(2)已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.1系列丛书进入导航A为锐角A为钝角或直角图形关系式①a＝bsinA②a≥bbsinAababsinAaba≤b解的个数一解两解无解一解无解人教A版·数学·