正弦定理(优秀课件)

•1.利用正弦定理解三角形是本节课考查的热点．•2.本课内容常与三角函数及三角恒等变换等知识结合命题．•3.考查形式多样化，各种题型均可出现，以中低档题为主.回忆一下直角三角形的边角关系?ABCcbasinacA两等式间有联系吗？sinsinabcABsin1CsinsinsinabcABC思考:对一般的三角形,这个结论还能成立吗?1.定理的推导1.1正弦定理sinbcB(1)当是锐角三角形时,结论是否还成立呢?ABCD如图:作AB上的高是CD,根椐三角形的定义,得到.sinsinbcAEBCBC同理,作有sinsinsinabcABC1.1正弦定理sin,sinCDaBCDbAsinsinaBbA所以sinsinabAB得到BACabcE(2)当是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?ABCCBAcab1.1正弦定理DCCbADsinsin）（且CcBbAasinsinsin同理可得此时也有cADBsin交BC延长线于D,过点A作AD⊥BC，AD=csinB=bsinCCcBbsinsin剖析定理、加深理解sinsinsinabcABC1、A+B+C=π2、在同一个三角形中，大角对大边，大边对大角正弦定理：剖析定理、加深理解3、一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形sinsinsinabcABC正弦定理：剖析定理、加深理解正弦定理可以解决三角形中哪类问题：①已知两角和一边，求其他角和边.②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.CcBbAasinsinsin例1在已知,解三角形.ABC0030,135,2ABa通过例题你发现了什么一般性结论吗?小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。1.1正弦定理3.定理的应用举例变式：若将a=2改为c=2，结果如何？[题后感悟](1)已知两角和一边(如A，B，c)，求其他角与边的步骤是：①C＝180°－(A＋B)；②用正弦定理，a＝csinAsinC；③用正弦定理，b＝csinBsinC.例2已知a=16，b=，A=30°.求角B，C和边c已知两边和其中一边的对角,求其他边和角解：由正弦定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAbB所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°当时Ｂ＝60°C=90°.32cC=30°.16sinsinACac316当Ｂ＝120°时B16300ABC16316变式:=2,b=,A=45°，解三角形所以Ｂ＝300,或Ｂ＝1800－300=1500由于1500+4501800故B只有一解（如图）C=1050,小结:已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。2解：由正弦定理得BbAasinsin21245sin2sinsinaAbB226sinsinACac426sinc450ABC22aaaa4.基础练习题1.1正弦定理无解.,3310,4Bba求,(1)在中，已知A=60ABC(2)在中，根据条件解三角形，有两解的是（）A.a=7,b=14,A=30°B.a=30,b=25,A=150°C.a=72,b=50,A=135°D.a=30,b=40,A=26°ABCD课堂小结（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围：①已知两角和任意边，求其他两边和一角②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况)正弦定理：ABCsinsinsinabcABC＝2R已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?课后思考(2)已知两边和其中一边对角(如a，b，A)不能唯一确定三角形形状，解这类问题将出现无解、一解、两解三种情况，要注意判别，其方法是：由三角形中大边对大角可知，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有一解，若ab，则AB，此时由正弦定理得sinB＝bsinAa，①当sinB1，无解；②当sinB＝1，一解；③当sinB1，两解．解斜三角形的类型(1)已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解．(2)已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：ACababsinA无解ACaba=bsinA一解ACabbsinAab两解BB1B2BACbaab一解aABabCABabCABabCab无解a=b无解ab一解A为锐角A为钝角或直角图形关系式①a＝bsinA②a≥bbsinAababsinAaba≤b解的个数一解两解无解一解无解AasinBbsinCcsin＝＝（2R为△ABC外接圆直径）＝2R思考求证:证明：OC/cbaCBARCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,90''RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,正弦定理的常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA；(4)a∶b∶c＝sinA：sinB：sinC.在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状[规范作答]由已知得a2sinBcosB＝b2sinAcosA.由正弦定理的推广得a＝2RsinA，b＝2RsinB(R为△ABC的外接圆半径)，∴4R2sin2AsinBcosB＝4R2sin2BsinAcosA，即sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.又A、B为三角形的内角，∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．2.在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，判断△ABC的形状．解析：根据正弦定理得asinA＝bsinB＝csinC.因为sin2A＝sin2B＋sin2C，所以a2＝b2＋c2，所以∠A是直角，∠B＋∠C＝90°，所以2sinBcosC＝2sinBcos(90°－B)＝2sin2B＝sinA＝1，所以sinB＝22.又因为0°＜∠B＜90°，所以∠B＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形．证明：∵BacAbcCabSABCsin21sin21sin21BACDabcaABCahS21而CbBcADhasinsin∴CabBacSABCsin21sin21同理∴BacAbcCabSABCsin21sin21sin21haAbcSABCsin21知识点2:在△ABC中，sin(C－A)＝1，sinB＝13.(1)求sinA的值；(2)设AC＝6，求△ABC的面积．[解题过程](1)由C－A＝π2，且C＋A＝π－B，得A＝π4－B2，∴sinA＝sinπ4－B2＝22cosB2－sinB2，∴sin2A＝12(1－sinB)＝13，又sinA＞0，∴sinA＝33。(2)由正弦定理得ACsinB＝BCsinA，∴BC＝ACsinAsinB＝6·3313＝32，又sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝33×223＋63×13＝63，∴S△ABC＝12AC·BC·sinC＝12×6×32×63＝32.3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B＝π3，cosA＝45，b＝3.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．解析：(1)∵∠A、∠B、∠C为△ABC的内角，且∠B＝π3，cosA＝45，∴∠C＝2π3－∠A，sinA＝35，∴sinC＝sin2π3－A＝32cosA＋12sinA＝3＋4310.(2)由(1)知sinA＝35，sinC＝3＋4310，又∵∠B＝π3，b＝3，∴在△ABC中，由正弦定理，得a＝bsinAsinB＝65.∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.