正弦定理(省参赛获奖课件) (1)

正弦定理引入.C.B.A引例：为了测定河岸A点到对岸C点的距离，在岸边选定1公里长的基线AB，并测得∠ABC=120o，∠BAC=45o，如何求A、C两点的距离？ABC3C2C1CBC的长度与角A的大小有关吗?三角形中角A与它的对边BC的长度是否存在定量关系?在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:caAsincbBsin1sinC不难得到:CcBbAasinsinsinCBAabccc在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?AcbaCB(1)若直角三角形,已证得结论成立.bADcADCBsin,sin所以AD=csinB=bsinC,即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB图1过点A作AD⊥BC于D,此时有证法1:(2)若三角形是锐角三角形,如图1,由(1)(2)(3)知，结论成立．CCbADsinsin）（且CcBbAasinsinsin仿(2)可得D(3)若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,此时也有cADBsin交BC延长线于D,过点A作AD⊥BC，CAcbB图2证明：∵BacAbcCabSABCsin21sin21sin21BACDabcaABCahS21而CbBcADhasinsin∴CabBacSABCsin21sin21同理∴BacAbcCabSABCsin21sin21sin21haAbcSABCsin21证法2:向量法证法3:利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.jBACabc在锐角三角形中.的夹角为与，的夹角为与，的夹角为与ABjCBjACjC90A9090由向量加法的三角形法则ABCBACABjCBjACjABjCBACjj得的数量积两边同取与,)90cos()90cos(90cosAABjCCBjACj定义）（根据向量的数量积的CcAaAcCasinsinsinsin即在锐角三角形中，可得垂直于点作过同理,sinsin,BbCcCBjCCcBbAasinsinsin也有jBACabc，于垂直作单位向量证明：过点ACjA正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.CcBbAasinsinsin即AasinBbsinCcsin＝＝（2R为△ABC外接圆直径）＝2R思考求证:证明：OC/cbaCBARCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,90''RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,剖析定理、加深理解正弦定理可以解决三角形中哪类问题：①已知两角和一边，求其他角和边.②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.CcBbAasinsinsin例1在△ABC中，A=32.0º，B=81.5º，a=42.9，解此三角形．（精确到0.1cm）解:根据三角形的内角和定理：C=180º-(A+B)=66.2º由正弦定理可得由正弦定理可得sin42.9sin81.880.1sinsin32.0aBbcmAsin42.9sin66.274.1sinsin32.0acccmA定理应用已知两角和任意边，求其他两边和一角课堂小结（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围：①已知两角和任意边，求其他两边和一角②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况)正弦定理：ABC111sinsinsin222ABCSabCbcAacBsinsinsinabcABC＝2R