正弦定理(第二课时)

1（第二课时）CcBbAasinsinsin正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即正弦定理可以解决两类问题：复习回顾①已知两角和一边求另外两边；②已知两边和其中一边的对角求其余边和角.一般地，把三角形的三个角A,B,C和它的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.复习回顾应用举例题型一已知三角形的两角及一边,解三角形例1(1)已知△ABC中,a=20,A=30°,C=45°,求B及边b,c.(2)在△ABC中,求边长c.30,60,663,ABab应用举例abcsinAsinBsinC由正弦定理得2202010522022c130asinCasinBsinbsinAsinAsin解:(1)∵A=30°,C=45°,∴B=180°-(A+C)=105°.212320()20(4560)222210(62).1302sinsin应用举例(2)解法一:66312.1322c30,60,ABsinsin663sinsincAcBabCC663sin30sin60cc180()90.CAB应用举例(2)解法二:30,60,AB180()90.CABabcsinAsinBsinC由正弦定理可得c12.133()2266abccsinAsinBsinCc应用举例题型二已知两边和其中一边的对角求其余边和角.例2在△ABC中,根据下列条件解三角形.(1)a=,b=2,A=30°;(2)a=5,b=2,B=120°.2应用举例,absinAsinB由∵ab,∴BA=30°.∴B为锐角或钝角(或∵bsinAab,∴B为锐角或钝角).∴B=45°或B=135°.当B=45°时,C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°,解:(1)2302.2sinB2bsinAsina得应用举例,casinCsinA又B45,C105,cB135,C15,31.c31或6222105275431.1303c02asinCsinsinsinAsinsinB135,C180AB1803013515,当时622215431c.1302asinCsinsinAsin应用举例2:,absinAsinB解法一由3551205321,224asinBsinsinAb得A,.不存在此题无解应用举例解法二:∵a=5,b=2,B=120°,ba,∴AB=120°,∴A+B240°与A+B+C=180°矛盾,因此本题无解.532b解法三:∵a=5,b=2,B=120°,asinB=5sin120°=,∴此题无解.规律技巧(1)已知三角形中的两边a、b及其中一边的对角A时,三角形的解可能无解､一解或两解.(2)一般地,若ab,A≥90°有一个解;若A90°有一解;若a=b,A≥90°无解;若A90°有一解;若ab,A≥90°无解；A90°时,若bsinA=a有一解,若bsinAa无解,bsinAa有两解.思考交流sinsins?inabcABCCABabc思考交流sinsins?inabcABCCABabcD思考交流sinsins?inabcABCDCABabcE正弦定理sinsinin2sabcABRC（R为△ABC的外接圆半径）正弦定理正弦定理的常见变形：2sin,2sin,2sinaRAbRBcRC（边化角公式）::sin:sin:sinabcABCsin,sin,sin222abcABCRRR（角化边公式）正弦定理（1）在中，一定成立的等式是（）ABCBbAaAsinsin.　BbAaBcoscos.　AbBaCsinsin.　AbBaDcoscos.　CABC（2）在中，若，则是()A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三有形2cos2cos2cosCcBbAaABCD课堂练习正弦定理（3）在中，求证：ABC0)sin(sin)sin(sin)sin(sinBAcACbCBa证明：由于正弦定理：令CkcBkBAkasin,sin,sin左边＝代入左边得：)sinsinsinsinsinsinBCACABCBCABAksinsinsinsinsin(sin∴等式成立=右边0课堂练习正弦定理(4)在△ABC中，若acosA=bcosB.求证：△ABC是等腰三角形或直角三角形.课堂练习三角形的面积公式BacAbcCabSABCsin21sin21sin21正弦定理24,3,5,cos1029210ABCabCxxABC例在中为方程的根，求的面积.5,2,5,4,sin2ABCABCABBCBS例在中求的值.典例剖析1、2、正弦定理的应用2sinsinsinabcRABC正弦定理3、三角形的面积正弦定理课堂小结1.P49练习21、2、3、42.P52习题2-1A组第1题正弦定理书面作业3.课时作业