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数学发展史小组成员：潘建平郭毅邓睿成谢昂侯又楠李晶金筱莉胡蜜蜜国外数学历史发展概况国外数学史的五个发展时期：•数学的萌芽时期•初等数学时期•变量数学时期•近代数学时期•现代数学时期影响数学发展的因素：民族特点人文数学家人格特征、历史的作用诸多因素1数学的萌芽时期（至公元前六、五世纪）1.1巴比伦(至公元前二世纪）的数学•两河流域的“美索布达米亚”•19世纪40年代考古学家发掘出巴比伦的古城•在算术和代数的成就•“楔形”文字泥版书（如图1.1）图1.1古巴比伦带有四边形和数字符号30；1，24，51，10；42，25，35的泥版书1.2古埃及的数学（至公元前332年）纸草书：莫斯科纸草书（约公元前1900年）莱因德纸草书（约公元前1700年）几何学:金字塔，尼罗河与几何的测量古印度是指南亚次大陆及其邻近的岛屿文字大部分是写在棕榈树的叶子上或树皮上数学伴随着占星术和宗教活动古印度的祭坛264－1粒：棋盘上的麦粒，绕地球7000圈！“河内塔”游戏，5万亿年以上，世界的末日！1.3古印度的数学2.初等数学时期2.1古希腊数学（公元前6世纪至公元6世纪）特殊的地理位置与文化.社会制度（公元前6世纪至公元17世纪）哲学与数学：泰勒斯（约公元前624-前547）“几何论证之父”毕德哥拉斯（约公元前580-前460）学派“万物皆数”，“第一次数学危机”德谟克利特（约公元前460-前370）“原子论”圆锥的体积公式，17世纪“不可分量理论”芝诺（约公元前490-前425）“阿基里斯追不上乌龟”的悖论,极限、连续和无穷集合的概念柏拉图（公元前427-前347）把数学概念和现实中相应的实体分开，柏拉图立体；亚里士多德（公元前384-前322）的演绎推理的思想和方法，形式逻辑规则；阿基米德（约公元前287-前212力学研究与数学研究相结合，浮力原理“如果给我一个支点，我将移动地球”墓碑上刻着球内切于圆柱的图形亚历山大前期欧几里得（约公元前330-前275）的《几何原本》科学史上第一门演绎科学“犹如初恋一般的迷人”“如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动，那么他是不会成为一个科学家的”亚历山大后期厄拉托塞（约公元前276-前194）厄拉托塞筛法丢番图（约210-290）“代数学的开山鼻祖”墓志铭：“上帝给予的童年是六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完人生的旅途”1.2.2阿拉伯数学（公元9世纪至13世纪）在阿拉伯帝国统治下、各民族人民共同创造承前启后，继往开来的作用。2.3中世纪印度数学（公元5世纪至12世纪）推进了算术和代数的进展制定了现在世界上通用的数码及记数方法婆什迦罗（1114-1185）的《丽罗娃提》黑暗的中世纪吸收东方文化——十字军远征文艺复兴运动科学方法：演绎与实验（F·培根561-1626）代数的符号化：塔塔利亚（1499-1557）三次方程的求解卡当（1501-1576）的《大术》韦达（1540-1603）使代数学成为符号数学2.4西欧数学的复苏（公元十一世纪至十六世纪）3.变量数学时期(17世纪上半叶至19世纪20年代)产生标志：解析几何和微积分学科学技术蓬勃发展的推动下应运而生3.1变量数学产生的十七世纪解析几何的创立费马（1601-1665）“业余数学家之王”，研究阿波罗尼兹的圆锥曲线通过坐标建立了代数方程和曲线联系，并利用方程来研究曲线的性质。笛卡尔（1596-1650）独特的读书方式利用代数方法改变《原本》的证明方法“梅森科学院”的讨论《方法论》的“附录”《几何学》（1637）通过哲学、自然科学的途径来研究数学引出了变量和函数的概念。•微积分的创立：为自然科学研究提供必要的数学工具伽利略（1564-1642）铜灯摆动周期与摆动的弧的大小无关两块金属同时落地开普勒（1571-1630）行星运动的三条定律粗糙形式的积分学，函数的研究瓦里士等人的工作•微积分成为独立的学科牛顿（1643-1727）万有引力的思想，广义二项式定理微分和积分的思想哈雷彗星让普通平凡的人们因为在他们中间出现过一个人杰而感到高兴吧！莱布尼兹（1646-1716）外交官的生涯，系统的研究结果3.2高等数学迅速发展的18世纪研究领域主要在数学分析方面，一批优秀的数学家为此做出了重大的贡献伯努利家族约翰·伯努利（1667-1748）多产的数学家，好的老师，生性好斗：对牛顿进行了多次攻讦，对哥哥雅各布的挑战，悬链线，最速降线（旋轮线），等周问题欧拉（1707-1783）著作方面惊人的多产。双目失明，某些书和四百篇研究文章是在他完全失明后写的，得益于他非凡的记忆力和心算能力。热爱生活，欧拉停止了生命，也停止了计算。4近代数学时期（19世纪20年代至20世纪40年代）1.4.1非欧几何与近代几何思想摆脱实际问题的制约，完全利用演绎的方法研究数学内部的矛盾和规律，发展成为纯粹的数学科学《几何原本》中第五公设的研究等价命题，罗巴切夫斯基几何学罗巴切夫斯基（1792-1856）非欧几何的研究是在教学过程中进行的系统阐述非欧几何的思想和方法为新的几何学呐喊了一生高斯（1777-1855）非欧几何最早的发现者企图用实践检验它的正确性传统的观念面前缺乏罗巴切夫斯基那样的勇气。天性聪颖，家境贫寒“数学之王”著称，治学严谨鲍耶（1802-1860）注意新的几何学内部的相容性问题，更具有数学理论研究意识21岁发现非欧几何，对高斯的怨恨父子纠纷贫困中仍为“不能证明他的几何学的无矛盾性而感到十分苦恼。”••近代几何思想，称作爱尔兰根纲领。1872年，德国数学家克莱因在射影几何中用变换群的观点统一了四种度量几何1.4.2代数学的解放四元数（不满足乘法交换率的数系）群概念的出现“求解高次方程根”的问题•哈密顿（1805-1865）进大学之前没有受过学校教育，22岁大学生被授予天文学教授“布尔罕桥”上发现了四元数，数域的扩张人生的坎坷阿贝尔（1802-1829）完成了鲁菲尼的证明（交高斯审阅，未受到重视）一生贫穷，颠沛流离的生活，未满27岁因肺炎病逝伽罗华（1811-1831）18岁开始先后三次将方程求解的论文呈送法国科学院，未受重视临死前将思路记录下来，并托付给了朋友在他去世40年后，他的思想方法很快形成了代数结构的一般理论。4.3分析学基础的严密化死去量的幽灵？“无穷小量”的第二次危机微积分的理论基础应该是极限论柯西（1789-1857）是仅次于欧拉的多产数学家人生的另一侧面：与周围的人很不融洽，对刚踏上科学道路的年轻人的冷漠，使他成为最不可爱的科学家。“他的课讲的非常混乱。”“对于年轻学生，他令人厌倦”4.4分析学基础的算术化柯西极限理论建立在实数系的简单直觉观念上病态函数的出现告诫人们不能过分依赖直观实数系本身首先应该严格化，ε—δ方法给出极限的定量化的定义（1856年）。实现这个目标就称作分析的算术化维尔斯特拉斯（1815-1897年）曲折的就学之路，多年的乡村教师大器晚成的数学家4.5公理化方法19世纪，为克服微积分基础概念的理论缺陷，非欧几何、四元数系的发现，重新唤起对公理化方法的认识。20世纪的公理化方法渗透到几乎所有的纯数学和某些物理学的领域。利用公理化方法建立了许多核心数学分支的逻辑基础，希尔伯特写道：通过突进到公理的更深层次，我们能够获得科学思维的更深入的洞察力，弄清楚知识的统一性希尔伯特（1862-1943）著名讲演“数学问题”，纵览数学发展全貌“在日复一日无数的散步时刻，我们漫游了数学科学的每一个角落”，“天才就是勤奋”“他就像一位穿杂色衣服的风笛手，用甜蜜的笛声引诱一大群老鼠跟着他走进数学的深河”。4.6康托与集合论•康托（1845-1918）关于实无穷的深奥理论，引起了激烈的争论和谴责与某些数学家的关系相当紧张，经济生活拮据高度形式化领域的艰苦跋涉，双重狂郁性精神病“连续统假设”问题，康托未能走出的路，的确有着不可逾越的障碍。罗素悖论，理发师悖论，对整个数学可靠性的怀疑数学基础的三大学派逻辑主义学派形式主义学派直觉主义学派各派均未能对数学的基础问题做出完美的答案这场论争极大的推动了纯粹数学研究的发展4.7数学的基础现代数学与应用数学的作用日趋广泛数学是解决各种现实问题的工具数学已成为自然科学、技术发展的重要思想方法一种科学只有成功地运用数学时，才算达到完善的地步（马克思）520世纪数学应用的发展概况•随着二次世界大战的爆发，大量的实际问题吸引着无数的数学家投入到应用数学的研究。“数学家不能无视客观世界，必须运用数学而且承担解决应用问题的道义责任。”（维纳语）。数理逻辑、运筹学、控制论等应用数学，都从战争的需要中找到了自己生长发育的土壤20世纪最初的二、三十年中，崇尚纯粹数学，忽视数学应用，成为数学研究的主要思想倾向20世纪下半叶，是应用数学发展的高峰期:突变理论、模糊数学以及计算机数学应运而生.数学应用受到社会的关注并取得前所未有的发展数学与其它领域相结合而形成一系列交叉学科6数学模型方法哥尼斯堡七桥问题是将实际问题转化为数学问题，并借助数学理论来解释现实问题的方法•用数学模型方法解决实际问题，主要经历以下的几个步骤：•建构数学模型的过程是不断地实践检验、重构的过程。为建模提供必要的观测数据和经验性的结论区分现实问题中的主次因素，简化现实问题的结构关系，给出这些因素、关系的数学概念和数学结构，数学模型的解常常需要与计算机有关的算法设计构建数学模型求解数学问题回到实际中解释结果7非线性数学•对现实世界中的各类问题的线性处理：譬如，牛顿用动力学定律描述物体的确定性现象：当物体在外力作用下，如果已知在初始时刻t。物体位于初始位置x0，就可以推知物体在未来时刻t的位置。在这里，一个基本的假设是运动关于初始值是稳定的，即初值的微小误差，不会影响物体未来的运动轨迹。非线性问题没有一般的求解方法。往往很难求得准确解，常采用线性逼近的方法求得非线性问题的近似解。例如：“拟线性”的方法。世界本质上是非线性的：绝大多数的事物并非是稳定的、有序的和平衡的。譬如，蝴蝶效应（对初始条件的敏感依赖性），描述这类系统的数学模型不同于牛顿力学的原理，而是更为复杂的非线性系统的原理和模型。•量子场理论____麦克斯韦方程___杨——米尔斯方程•整体微分几何____陈示性类与纤维丛理论数学与物理的内在和谐性8杨——米尔斯方程与现代微分几何现代理论物理学和核心数学的所有子学科间紧密联系的漂亮的范例1967年，杨振宁在研究规范场理论的推广问题时，发现了黎曼几何中的公式规范场公式的特例。1975年初杨振宁听了一系列数学讲座，开始使用纤维丛理论解释物理现象，并于当年发表了论文,明确指出了纤维丛理论和规范场理论的联系，将这两个领域的概念建立了一一对应的关系杨——米尔斯理论乃是吸引未来越来越多数学家的一门年轻的学科。9折叠与突变理论经典的系统稳定性的理论：稳定性系统是一种当影响系统的因素连续变化时，其系统的行为也连续变化的系统，而且当因素发生微小变化，系统的行为也只发生微小的变化。突变现象则是自然界和社会中普遍存在的另一类不具有稳定状态的客观现象，1972年，法国拓扑学家托姆创立了突变理论的数学模型。突变理论就是运用一些典型函数在一些临界点（即能使系统状态在微小“扰动”下产生巨变的自变量值）的性态来刻划突变现象。10黄金分割与斐波那契数列黄金分割问题：给出任意一个线段AB，我们要在这上面找到一点，这一点把这条线段分成长短二部分。使得全线段的长和较长部分的比值是等于较长部分和较短部分的长的比值。用几何方法容易算出这个比值为亦就是说，较长的线段近似等于整个线段长的0.618倍2/)51(开普勒说：“几何学里有两个宝库：一个是毕德哥拉斯定理，另一个就是黄金分割。前面那个可以比作金矿，而后面那一个可以比作珍贵的钻石矿。”斐波那契数列和贾宪三角形（斐波那契数列的应用）在贾宪三角形的第n行（图中取n=10），然后由1为起点画一条线和水平方向成45度的角，这条