流体力学-第02章-流体静力学

流体静力学的任务：是研究液体平衡的规律及其实际应用。液体的平衡状态有两种：一种是静止状态；另一种是相对平衡状态（见第四节）。注意：液体在平衡状态下没有质点间的相对运动，不存在内摩擦力，此时理想液体和实际液体一样。第二章流体静力学第一节静止流体中的应力特性一、静压力与静压强如图所示：静压力：静止（或处于相对平衡状态）液体作用在与之接触的表面上的压力称为静压力，常以字母P表示。静压强：取微小面积，令作用于的静压力为，则面上单位面积所受的平均静压力为静压强定义为静压力P的单位：牛顿（N）；静压强p的单位：牛顿／米2（N／m2），又称为“帕斯卡”（Pa）。0limAPpAAAPAPpA二、静压强的特性静压强的两个重要特性：1．静压强的方向与受压面垂直并指向受压面。2．任一点静压强的大小和受压面方向无关，或者说作用于同一点上各方向的静压强大小相等。(a)(b)理论证明静压力具有各向同性（三维）为作用在O`DB面上的静水压力；为作用在O`DC面上的静水压力；为作用在O`BC面上的静水压力；为作用在DBC面上的静水压力；xPyPzPnP四面体体积：总质量力在三个坐标方向的投影为：按照平衡条件，所有作用于微小四面体上的外力在各坐标轴上投影的代数和应分别为零。理论证明静压力具有各项同性zzyyxxzfyxFzfyxFzfyxF6161611cos(,)061cos(,)061cos(,)06xnxynxznzPPnxxyzfPPnxxyzfPPnzxyzf16xyz而四面体四个表面积：则有所以理论证明静压力具有各向同性1cos(,)2xnAAnxyz1cos(,)2ynAAnyzx1cos(,)2znAAnzxy0110lim()033pxnxxxxnVxnxnPPPPxfxfppAAAA103ynyynynPPyfppAA103nzzznznPPzfppAAnzyxpppp第二节流体的平衡微分方程流体平衡微分方程:是表征液体处于平衡状态下，作用于液体上各种力之间的关系式。取A点及平行六面体如图：一、微分方程1．表面力X方向：静水压力各为及。2．质量力X方向：。则X方向：－＋＝0以除上式各项并化简后为：dydzdxxpp)2(dydzdxxpp)2(dxdydzfxdydzdxxpp)2(dydzdxxpp)2(dxdydzfxdxdydzxfxp同理，对于Y、Z方向可推出类似结果，从而得到欧拉平衡微分方程组：（欧拉方程）该式的物理意义为：平衡液体中，静水压强沿某一方向的变化率与该方向单位体积上的质量力相等。zyxfzpfypfxp将欧拉平衡微分方程式各式分别乘以dx，dy，dz然后相加得。上式是不可压缩均质液体平衡微分方程式的另一种表达形式。将欧拉方程前两式分别对y和x取偏导数)(dzfdyfdxfdpdzxpdyypdxxpzyxxfyfxfyfxypyxyx)()(2zyxfzpfypfxp同理可得zfxfyfzfxfyfxzzyyx由曲线积分定理知，满足上式必然存在力势函数使：),,zyxU（zUfyUfxUfzyx定理：力势函数的全微分应等于单位质量力在空间移动距离所作的功：故有dUdzdzUdyyUdxxUdp)(dzfdyfdxfdzzUdyyUdxxUdUzyx二、积分方程对进行积分可得如果已知平衡液体边界上（或液体内）某点的压强为、力势函数为U0，则积分常数C＝得结论：平衡液体中，边界上的压强将等值地传递到液体内的一切点上；即当增大或减小时，液体内任意点的压强也相应地增大或减小同样数值。这就是物理学中著名的巴斯加原理。CUp00Up)(00UUpp0p0pdUdp三等压面等压面：静水压强值相等的点连接成的面（可能是平面也可能是曲面）。等压面性质：1．在平衡液体中等压面即是等势面。2．等压面与质量力正交。等压面性质：1．在平衡液体中等压面即是等势面。等压面上P=Const，故dp=0，亦即ρdU=0。对不可压缩均质液体，ρ为常数，由此dU=0，即U=Const等压面性质：2．等压面与质量力正交。证明：在平衡液体中任取一等压面，质点M质量为dm，在质量力F作用下沿等压面移动。)()(kdjdiddsdmkfjfifFzyxzyx力F沿ds移动所做的功可写作矢量F与ds的数性积：另外力势函数定义有因等压面上dU=0，所以W=F*ds=0。也即质量力必须与等压面正交。注意:(1)静止液体质量力仅为重力时，等压面必定是水平面，也即等压面应是处处和地心引力成正交的曲面;(2)平衡液体与大气相接触的自由表面为等压面；(3)不同流体的交界面也是等压面。()xyzWFdsfdxfdyfdzWdUdm第三节重力作用下静压强的基本公式实际工程中，作用于平衡液体上的质量力常常只有重力，即所谓静止液体。重力作用下fx＝0，fy＝0，fz＝－g，代入平衡微分方程式积分得而自由面上得出静止液体中任意点的静水压强计算公式：式中：表示该点在自由面以下的淹没深度。：自由面上的气体压强。ghpp0zzh00pdzdzfdyfdxfdpzyx)(Cgpzgpgpzz00,一、液体静力学基本方程淹没深度相同的各点静水压强相等，只适用于质量力只有重力的同一种连续介质。对不连续液体或一个水平面穿过了两种不同介质，位于同一水平面上的各点压强并不相等。(a)(b)(c)静止液体内任意点的静水压强有两部分组成：一部分是自由面上的气体压强P0，另一部分相当于单位面积上高度为h的水柱重量。二气体压强的分布（不讲）（不讲就不考）三压强的度量--绝对压强与相对压强1、绝对压强设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强，称为绝对压强。总是正的。2、相对压强把当地大气压作为零点计量的压强，称为相对压强。可正可负。以表示绝对压强，p表示相对压强，则表示当地的大气压强。则有'apghpppaabsabsp地球表面大气所产生的压强为大气压强。海拔高程不同，大气压强也有差异。我国法定计量单位中，把98223.4Pa或98kPa称为一个标准大气压。工程中，自由面上的气体压强等于当地大气压强，故静止液体内任意点的相对压强为ghpghppaa)(3、真空及真空度绝对压强总是正值，相对压强可能为正也可能为负。相对压强为负值时，则称该点存在真空。真空度是指该点绝对压强小于当地大气压强的数值。absavppp例：一封闭水箱（见图），自由面上气体压强为85kN/m2，求液面下淹没深度h为1m处点C的绝对静水压强、相对静水压强和真空度。解：C点绝对静水压强为C点的相对静水压强为相对压强为负值，说明C点存在真空。真空度为kPaghppabs8.9418.9850kPapppaabs2.3988.94kPapppabsav2.38.9498例：情况同上例，试问当C点相对压强p为9.8kN/m2时，C点在自由面下的淹没深度h为多少？解：相对静水压强：代入已知值后可算得aaabspghpppp00()(9.88598)/9.82.33appphmg例：如图，一封闭水箱，其自由面上气体压强为25kN/m2，试问水箱中A、B两点的静水压强何处为大？已知h1为5m，h2为2m。解：A、B两点的绝对静水压强分别为故A点静水压强比B点大。实际上本题不必计算也可得出此结论（因淹没深度大的点，其压强必大）。kPaghppabsA7458.92510'kPaghppabsB6.4428.92520'例：如图，一开口水箱，自由表面上的当地大气压强为98kN/m2，在水箱右下侧连接一根封闭的测压管，今用抽气机将管中气体抽净（即为绝对真空），求测压管水面比水箱水面高出的h值为多少？解：因水箱和测压管内是互相连通的同种液体，故和水箱自由表面同高程的测压管内N点，应与自由表面位于同一等压面上，其压强应等于自由表面上的大气压强，即。从测压管来考虑因（）故aNpp'ghghppN0'00pghpamgpha108.998四压强的测量1、测压管若欲测容器中A点的液体压强，可在容器上设置一开口细管。则A、B点位于同一等压面，两点压强相等。式中h称为测压管高度或压强高度。测量液体（或气体）压强的仪器很多，这里只是介绍一些利用流体静力学原理设计的液体测压计。ghpAgphA当A点压强较小时：1.增大测压管标尺读数，提高测量精度。2.在测压管中放入轻质液体（如油）。3.把测压管倾斜放置（见图）。A点的相对压强为当被测点压强很大时：所需测压管很长，这时可以改用U形水银测压计。singLpA(a)(b)2、U形水银测压计在U形管内，水银面N-N为等压面，因而1点和2点压强相等。对测压计右支对1点A点的绝对压强A点的相对压强式中，与分别为水和水银的密度。gbghpmAmghppmaabs2ghppmaabs1gbghppmaabsA4压强的液柱表示法---水头压强的液柱表示法1.以单位面积上的压力即千帕（KPa）来表示。2.用液柱高表示。P=ρgh98kPa=1个工程大气压＝10m水柱＝736mm水银柱例1-8若已知抽水机吸水管中某点绝对压强为80kN/m2，试将该点绝对压强、相对压强和真空度用水柱及水银柱表示出来（已知当地大气压强为）。解：绝对压强或为水柱或为水银柱相对压强或为水柱，或为水银柱真空度或为1.84mm水柱，或为135mm水银柱kPapa98kPapabs80m16.8109880mm6017369880kPapppaabs189880m84.1109818mm1356.131840kPapppabsav188098第四节几种质量力同时作用下的液体平衡如果液体相对于地球运动，但相对于容器仍保持静止的状态为相对平衡。如绕中心轴作等角速度旋转的圆柱形容器中的液体。第五节液体作用于平面上的总压力一、压力图法：作用在矩形平面上的静总压力1．静水压强分布图的绘制：(1)按一定比例，用线段长度代表该点静水压强的大小。(2)用箭头表示静水压强的方向，并与作用面垂直。ghpp0(a)(b)(c)2．静水总压力的计算：平面上静水总压力的大小应等于分布在平面上各点静水压强的总和：压强分布图为梯形则静水总压力作用点：P作用点应通过压强分布图的形心点Q。证明：参考解析法PbS121()2SghghL12()2gPhhbL压强分布图为三角形？？12PghbL作用点：1、当压强为三角形分布时，压力中心D离底部距离为；Le312、当压强为梯形分布时，压力中心离底的距离。)(3)2(2121hhhhLe二、解析法：作用于任意平面上的静水总压力受压面为任意形状，静水总压力的计算较为复杂。取一任意形状平面EF，倾斜置放于水中，与水平面的夹角a，平面面积为A，平面形心点在C。xysinhL1．总压力的大小作用在围绕点M的微分面积dA的静水压力整个平面EF上的静水总压力为：而一阶惯性矩定理为平面EF形心点C在液面下的淹没深度，为形心点C的静水压强。ApAghALgFCcCPsinChcpghdApdAdF