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课标版物理第4讲圆周运动中的临界问题考点一水平圆周运动的临界问题 水平面内的很多圆周运动都存在临界状态,解答此类问题的关键是发现临界状态,找到临界条件。例如“刚好不发生相对滑动”的临界条件是静摩擦力等于最大静摩擦力、“刚好不离开”的临界条件是接触面间正压力等于零。下面是火车拐弯问题分析。在火车转弯处,让外轨高于内轨,如图所示,转弯时所需向心力由重力和弹力的合力提供。考点突破 设车轨间距为L,两轨高度差为h,车转弯半径为R,质量为M的火车运行时应当有多大的速度?据三角形边角关系知sinθ= ,对火车的受力情况分析得tanθ= 。因为θ角很小,所以sinθ≈tanθ,故 = ,所以向心力F合= Mg。又因为F合= ,所以车速v= 。hLFMg合hLFMg合hL2MvRghRL由于铁轨建成后h、L、R各量是确定的,故火车转弯时的车速应是一个定值,否则将对铁轨有不利影响,如:(1)火车在弯道处的速度大于 时,重力和支持力的合力不足以充当火车做圆周运动需要的向心力,火车要挤压外侧车轨,外侧车轨受挤压发生形变产生弹力,补充不足的向心力。(2)火车在弯道处的速度小于 时,重力和支持力的合力大于火车做圆周运动需要的向心力,火车就要挤压内侧车轨,内侧车轨受挤压发生形变产生弹力,抵消一部分重力和支持力的合力。 ghRLghRL典例1(多选)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的。弯道处要求外轨比内轨高,其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关,还与火车在弯道上的行驶速率v有关。下列说法正确的是 ()A.速率v一定时,r越小,要求h越大B.速率v一定时,r越大,要求h越大C.半径r一定时,v越小,要求h越大D.半径r一定时,v越大,要求h越大 答案AD火车转弯时,圆周平面在水平面内,火车以设计速率行驶时,向心力刚好由重力G与轨道支持力FN的合力来提供,如图所示,则有mgtanθ= ,据三角形边角关系知sinθ= ,因为θ角很小,所以sinθ≈tanθ,则有mg = ,通过分析可知A、D正确。2mvrhLhL2mvr典例2(2015浙江理综,19,6分)(多选)如图所示为赛车场的一个水平“U”形弯道,转弯处为圆心在O点的半圆,内外半径分别为r和2r。一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达A'B'线,有如图所示的①、②、③三条路线,其中路线③是以O'为圆心的半圆,OO'=r。赛车沿圆弧路线行驶时,路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax。选择路线,赛车以不打滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变,发动机功率足够大),则 ()A.选择路线①,赛车经过的路程最短B.选择路线②,赛车的速率最小C.选择路线③,赛车所用时间最短D.①、②、③三条路线的圆弧上,赛车的向心加速度大小相等 答案ACD路线①、②均由一半圆与两条直线构成,s1=πr+2r,s2=2πr+2r;路线③由一半圆构成,s3=2πr,所以A正确。根据F= 有,vm= ,路线①半径最小,路线②、③半径相等,得v2m=v3m= v1m,B错。根据t1= = ,t2= = ,t3= = ,得t2t1t3,C正确。根据a= ,a1= ,a2= = = ,a3= = ,得a1=a2=a3,D正确。2mvRmaxFRm211msv1m2rrv22msv1m222rrv33msv1m22rv2vR21mvr22m2vr21m22vr21mvr23m2vr21mvr典例3如图所示,在光滑的圆锥体顶端用长为l的绳悬挂一质量为m的小球。圆锥体固定在水平面上不动,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹角为30°。小球以速率v绕圆锥体轴线做水平匀速圆周运动。 (1)当v1= 时,求绳对小球的拉力;(2)当v2= 时,求绳对小球的拉力。 答案(1)1.03mg(2)2mg/6gl3/2gl 解析如图所示,小球在锥面上运动,但支持力FN=0,小球只受重力mg和绳的拉力FT作用,合力沿水平面指向轴线。根据牛顿第二定律有: mgtanθ=m =m 解得:v0= (1)因为v1v0,所以小球与锥面接触并产生弹力FN,此时小球受力如图甲所示。20vr20sinvlθ3/6gl根据牛顿第二定律有:FTsinθ-FNcosθ= FTcosθ+FNsinθ-mg=0解得:FT=1.03mg 甲21sinmvlθ 乙(2)因为v2v0,所以小球与锥面脱离接触,设绳与竖直方向的夹角为α,此时小球受力如图乙所示。根据牛顿第二定律有:FTsinα= FTcosα-mg=0解得:FT=2mg22sinmvlα对临界问题的分析要做好以下几方面工作1.判断临界状态:有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的问题存在着临界点;若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程存在着“起止点”,而这些起止点往往就是临界状态;若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程存在着极值,这个极值点也往往是临界状态。2.确定临界条件:判断题述的过程存在临界状态之后,要通过分析弄清临界状态出现的条件。3.选择物理规律:当确定了物体运动的临界状态和临界条件后,要分别对于不同的运动过程或现象,选择相对应的物理规律,然后再列方程求解。1-1[2015河北名校联盟质量监测(二),20](多选)如图,叠放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动,A、B、C的质量分别为3m、2m、m,A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ,AB整体、C离转台中心的距离分别为r、1.5r。设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。以下说法正确的是 () A.B对A的摩擦力一定为3μmgB.B对A的摩擦力一定为3mω2rC.转台的角速度一定满足:ω≤ D.转台的角速度一定满足:ω≤ 答案BDA做圆周运动的向心力由B对A的摩擦力提供,由牛顿第二定律及向心加速度公式有:Ff=3mω2r,B项正确;AB整体恰好未发生相对转台的滑动时,μ(3m+2m)g=(3m+2m)ω2r,解得ω= ,C恰好未发生相对转台的滑动时,μmg=1.5mω2r,解得:ω= ,所以D选项正确。μgr23μgrμgr23μgr考点二竖直圆周运动的临界问题在竖直平面内做圆周运动的物体,按运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类。一类是无支撑(如球与绳连接,沿内轨道的“过山车”等),称为“绳(环)约束模型”;二是有支撑(如球与杆连接,在弯管内的运动等),称为“杆(管道)约束模型”。物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动,该类运动常有临界问题,并常伴有“最大”“最小”“刚好”等词语,现就两种模型分析比较如下:1.车过拱桥问题分析如图所示为汽车过拱桥的三种情境的比较分析:质量为m的汽车在拱桥上以速率v前进,桥面的圆弧半径为r,FN为桥面对汽车的支持力,其大小等于汽车对桥面的压力。甲为凸形桥面,乙为凹形桥面,丙为水平桥面。对甲分析,因为汽车对桥面的压力FN'=mg- ,所以(1)当v= 时,汽车对桥面的压力FN'=0;(2)当0≤v 时,0FN'≤mg;2mvrgrgr(3)当v 时,汽车将脱离桥面、发生危险。对乙分析,当汽车过凹形桥面最低点时,汽车的支持力和重力的合力提供向心力。则:FN-mg=m ,FN=mg+m ,支持力一定大于重力mg。对丙分析,汽车在水平桥面上匀速行驶,FN=mg。2.线球模型与杆球模型gr2vr2vr线球模型杆球模型常见类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球过最高点的临界条件由mg=m 得v临= 由小球恰能做圆周运动即可得v临=02vr临gr临界分析(1)过最高点时,v≥ ,FN+mg=m ,绳、轨道对球产生弹力FN(2)不能过最高点,v ,在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v=0时,FN=mg,FN为支持力,沿半径背离圆心(2)当0v 时,mg-FN=m ,FN背向圆心,随v的增大而减小(3)当v= 时,FN=0(4)当v 时,FN+mg=m ,FN指向圆心并随v的增大而增大在最高点的FN-v2图像 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向gr2vrgrgr2vrgrgr2vr 典例4(2015江苏苏州阶段检测,8)(多选)如图所示,飞车表演队队员骑摩托车在竖直的圆轨道内侧做圆周运动,质量为m的表演队员随车在竖直平面内旋转,下列说法正确的是 () A.表演队员在最低点时对车座的压力小于mgB.表演队员在最低点时对车座的压力大于mgC.车在最高点时表演队员没有保险带可能不会掉下来D.表演队员在最高点时对车座不可能产生大小为mg的压力 答案BC表演队员在最低点时,由向心力公式可得:F-mg=m ,则F=mg+m mg,选项A错误、B正确;表演队员在最高点时,由向心力公式可得:F+mg=m ,可知当v大于某一值,满足F≥0时,没有保险带,表演队员也不会掉下来,当F0时,表演队员对车座产生压力,压力随速度的增大而增大,大小可能等于mg,选项C正确,选项D错。2vR2vR2vR A.小球通过最高点时的最小速度vmin= B.小球通过最高点时的最小速度vmin=0C.小球在水平线ab以下的管道中运动时,内侧管壁对小球可能有作用力D.小球在水平线ab以上的管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力()gRr典例5如图所示,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,内侧壁半径为R,小球半径为r,则下列说法正确的是 ()小球在水平线ab以下的管道中运动时,由外侧管壁对小球的作用力FN与小球的重力在背离圆心方向的分力Fmg的合力提供向心力,即:FN-Fmg=m ,因此,外侧管壁一定对球有作用力,而内侧管壁无作用力,C错误;小球在水平线ab以上的管道中运动时,小球受管壁的作用力与小球速度大小有关,当小球速度较小时,外侧壁对小球无作用力,D错误。2vRr 答案B小球沿管道上升到最高点时的速度可以为零,故A错误,B正确; A.小滑块在A点时,NMg,摩擦力方向向左B.小滑块在B点时,N=Mg,摩擦力方向向右C.小滑块在C点时,N=(M+m)g,M与地面间无摩擦D.小滑块在D点时,N=(M+m)g,摩擦力方向向左 2-1(2015甘肃兰州一中期中,16)如图,质量为M的物体内有光滑圆形轨道,现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道在竖直面内做圆周运动。A、C点分别为圆周的最高点和最低点,B、D点是与圆心O在同一水平线上的点。小滑块运动时,物体M在地面上静止不动,则物体M对地面的压力N和地面对M的摩擦力有关说法正确的是 ()A点时,与轨道的作用力在竖直方向上,水平方向对轨道无作用力,所以物体M相对于地面没有相对运动趋势,即摩擦力为零;当小滑块的速度v= 时,对轨道的压力为零,物体M对地面的压力N=Mg,当小滑块的速度v 时,gRgR答案B因为轨道光滑,所以小滑块与轨道之间没有摩擦力。小滑块在对轨道的压力向上,物体M对地面的压力NMg,选项A错误。小滑块在B点时,对轨道的作用力沿水平方向向左,所以物体M对地有向左运动的趋势,地面给物体M向右的摩擦力;小滑块在竖直方向上对轨道无作用力,所以物体M对地面的压力N=Mg,选项B正确。小滑块在C点时,在水平方向对轨道无作用力,所以地面对物体M没有摩擦力;小滑块做圆周运动,轨道对小滑块的支持力大于其重力,合力提供向上的向心力,所以滑块对轨道的压力大于其重力,所以物体M对地面的压力N(M+m)g,选项C错误。小滑块在D点时,对轨道的作用力沿水平方向向右,所以物体M对地有向右运动的趋势,地面给物体M向左的摩擦力;竖直方向上对轨道无作用力,所以物体M对地面的压力N=Mg,选项D错误。考点三斜面内圆周运动的临界问题对于斜面内圆周运动的临界问题要注意以下几点:1.临界点为研究对象在运动轨迹上的势能最低点;2.做好受力分析,研究对象在临界点受到的摩擦力指向圆心;3.注意“不发生相对滑动的条件:f静≤fmax”的准确应用。 典例6(2014安徽理综,19,6分)如图所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动,盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与