6.1 数列的概念与表示(自用)

6.1数列的概念与表示1．数列的有关概念2．数列的分类3．数列{an}的an与Sn的关系(1)数列的前n项和：Sn＝a1＋a2＋…＋an.(2)an＝，n＝1，，n≥2.特别提醒：若当n≥2时求出的an也适合n＝1时的情形，则用一个式子表示an，否则分段表示．S1Sn－Sn－1常见数列的通项(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝____________；(2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝____________；(3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝____________；(4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝____________；(5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝_____；(6)1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝；(7)a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝；(8)9，99，999，…的一个通项公式为an＝.注：据此，很易获得数列1，11，111，…；2，22，222，…；…；8，88，888，…的通项公式分别为19(10n－1)，29(10n－1)，…，89(10n－1)．(1)n(2)2n(3)2n＋1(4)2n(5)(－1)n(6)1＋（－1）n－12(7)（a＋b）＋（－1）n－1（a－b）2(8)10n－1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)－1，7，－13，19，…；(2)23，415，635，863，1099，…；(3)12，2，92，8，252，…；(4)5，55，555，5555，…；(5)－1，32，－13，34，－15，36，….题型1知数列前几项求通项公式解：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用(－1)n调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故数列的一个通项公式为an＝2n（2n－1）（2n＋1）.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，故数列的一个通项公式为an＝n22.(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故数列的一个通项公式为an＝59(10n－1)．(5)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因式(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·2＋（－1）nn.也可写为an＝－1n，n为正奇数，3n，n为正偶数.【点拨】给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑：(1)熟悉一些常见数列的通项公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等．(2)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．(3)若第n项和第n＋1项正负交错，那么用符号(－1)n或(－1)n＋1来适配．(4)对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．(5)注意通项公式的形式不一定是惟一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成an＝1＋（－1）n＋12或an＝sinnπ2，甚至分段形式an＝1，n是奇数，0，n是偶数等．写出下列数列的一个通项公式：(1)－1，12，－13，14，－15，…；(2)3，5，9，17，33，…；(3)0.8，0.88，0.888，…；(4)23，－1，107，－179，2611，….(5)1，0，13，0，15，0，17，0，…(6)32，1，710，917，….解：(1)an＝(－1)n·1n；(2)an＝2n＋1；(3)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，所以an＝891－110n.(4)由于－1＝－55，故分母为3，5，7，9，11，…，即{2n＋1}，分子为2，5，10，17，26，…，即{n2＋1}．符号看作各项依次乘1，－1，1，－1，…，即{(－1)n＋1}，故an＝(－1)n＋1·n2＋12n＋1.(5)把数列改写成11，02，13，04，15，06，17，08，…，分母依次为1，2，3，…，而分子1，0，1，0，…周期性出现，因此数列的通项可表示为an＝1＋（－1）n＋12n.(6)将数列统一为32，55，710，917，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，所以可得它的一个通项公式为an＝2n＋1n2＋1.(1)(2017·河南八校一联)在数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.－2n－1(2)若将条件变为“an＋2SnSn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝12”，则{an}的通项公式为____________．an＝12n＝1，－12nn－1n≥2，n∈N*题型2由an与Sn的关系求通项公式解析:(1)依题意得Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＝2an＋1，两式相减得Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an.又S1＝2a1＋1＝a1，因此a1＝－1，所以数列{an}是以a1＝－1为首项，2为公比的等比数列，an＝－2n－1.解析:(2)∵当n≥2，n∈N*时，an＝Sn－Sn－1，∴Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0，易知SnSn－1≠0，所以1Sn－1Sn－1＝2.又S1＝a1＝12，∴1S1＝2，∴数列1Sn是以2为首项，公差为2的等差数列．∴1Sn＝2＋(n－1)×2＝2n.∴Sn＝12n.∴当n≥2，n∈N*时，an＝－2SnSn－1＝－2×12n×12n－1＝－12nn－1.∴an＝12n＝1，－12nn－1n≥2，n∈N*.方法技巧1．已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．2．Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．(1)a1＝1;(2)an＝3×2n－1－2解(1)令n＝1时，T1＝2S1－1.∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1.∴a1＝1.(2)当n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1.∵当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，∴Sn＝2an－2n＋1(n≥1)．∴当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，两式相减，得an＝2an－2an－1－2，∴an＝2an－1＋2(n≥2)．∴an＋2＝2(an－1＋2)(n≥2)．∵a1＋2＝3≠0，∴数列{an＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列．∴an＋2＝3×2n－1，∴an＝3×2n－1－2.当n＝1时也满足a1＝1，∴an＝3×2n－1－2.(2015·江苏高考)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，求an.题型3由递推关系求通项公式角度1形如an＋1＝an＋f(n)，求an角度2形如an＋1＝anf(n)，求an已知数列{an}满足a1＝23，an＋1＝nn＋2an，则通项公式an＝________________.43nn＋1累加法累乖法an＝nn＋12解由题意可得，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.解析由已知得an＋1an＝nn＋2，分别令n＝1,2,3，…，(n－1)，代入上式得n－1个等式累乘，即a2a1·a3a2·a4a3·…·anan－1＝13×24×35×46×…×n－2n×n－1n＋1，所以ana1＝2nn＋1，an＝43nn＋1.又因为a1＝23也满足该式，所以an＝43nn＋1.[总结反思]形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式可利用累加法求通项公式，即由an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(2)＋f(1)＋a1得出通项公式．特别注意能消去多少项，保留多少项．[总结反思]把形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式化为an＋1an＝f(n)的形式，利用an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1求出通项公式．(2)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝2nan(n∈N*)，求an.2n－1解析(1)由题意知an＋1－an＝2n，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.(1)设数列{an}满足a1＝1,且an＋1＝an＋2n(n∈N*),求an.(2)因为an＋1an＝2n，所以a2a1＝21，a3a2＝22，…，anan－1＝2n－1，将这n－1个等式叠乘，得ana1＝21＋2＋…＋(n－1)＝2n（n－1）2，所以an＝2n（n－1）2.当n＝1时，适合．故an＝2n（n－1）2.(2)an＝2n（n－1）2.(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________.2n＋1－3待定系数法、转化法、构造法(2)已知数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4·3n－1，则通项公式an＝________.角度3形如an＋1＝pan＋q，求an角度4形如an＋1＝pan＋qbn，求anan＝4·3n－1－5·2n－1(3)已知数列{an}中，a1＝－1，a2＝2，当n∈N*，an＋2＝5an＋1－6an，求an.解析:(1)递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t⇒t＝－3.故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)，令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且bn＋1bn＝an＋1＋3an＋3＝2.所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列，则bn＝4×2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3.解:(2)原递推式可化为an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n－1)．①比较系数得λ＝－4，①式即an＋1－4·3n＝2(an－4·3n－1)．则数列{an－4·3n－1}是一个等比数列，其首项a1－4·31－1＝－5，公比是2.∴an－4·3n－1＝－5·2n－1.即an＝4·3n－1－5·2n－1.解:(3)an＋2＝5an＋1－6an可化为an＋2＋λan＋1＝(5＋λ)(an＋1＋λan)．比较系数得λ＝－3或λ＝－2，不妨取λ＝－2.代入可得an＋2－2an＋1＝3(an＋1－2an)．则{an＋1－2an}是一个等比数列，首项a2－2a1＝2－2×(－1)＝4，公比为3.∴an＋1－2an＝4·3n－1.利用上题结果有an＝4·3