第二章流体静力学

第二章流体静力学第二章流体静力学引言流体静力学是研究流体在静止状态下的平衡规律及应用。静止是指流体质点相对于参考坐标系没有运动的情况，是一个相对概念，包括：绝对静止——流体对地球无相对运动相对静止——流体对地球有相对运动，但流层之间无相对运动流体静力学理论的适用范围：理想流体、实际流体无论理想流体或实际流体，在静止状态下，流体层与层之间都没有相对运动。实际流体的粘性特征未能显现。实际流体在静止状态下的物理特性类同于理想流体。因此，流体静力学理论同时适用于理想流体和实际流体。第二章流体静力学章节结构压强p总压力P流体静压力的概念及其特性§2.1流体平衡微分方程§2.2重力作用下流体的平衡§2.3几种质量力作用下流体的平衡§2.4静止流体作用在平面上的总压力§2.5§2.7物体在液体中的潜浮原理静止流体作用在曲面上的总压力§2.6第二章流体静力学§2.1流体静压力及其特性流体静压力的特性掌握流体静压力的概念第二章流体静力学一、静压力(pressure)p定义：静止流体中，作用在单位面积上的力称为静压力，亦称压强。设微小面积ΔA上的总压力为ΔP，则：平均静压强：点静压强：单位：帕斯卡（Pa）、牛顿/米2（N/m2）总压力（P）：作用于某一面积上的总静压力。单位：牛顿（N）APp0limAPpA掌握第二章流体静力学m图2-1静止流体中的单元体m图2-1静止流体中的单元体二、静压力的两个特性1．静压力方向永远沿着作用面内法线方向（“内”—指向作用面；“法线”—垂直作用面）。证明：（反证法）如图，取静止流体中任意隔离体。设切割面上任一点m处静压力p为任意方向。则p一定可分解为垂直于作用面的法向分力pn和平行于作用面的切向分力τ。ppnτ若存在平行于作用面的切向作用力τ：流体在切向力作用下必然发生流动，这与流体静止的前提条件相悖。静止流体不能承受剪切作用力τ1掌握第二章流体静力学m图2-1静止流体中的单元体m图2-1静止流体中的单元体二、静压力的两个特性1．静压力方向永远沿着作用面内法线方向（“内”—指向作用面；“法线”—垂直作用面）。证明：（反证法）如图，取静止流体中任意隔离体。设切割面上任一点m处静压力p为任意方向。则p一定可分解为垂直于作用面的法向分力pn和平行于作用面的切向分力τ。ppnτ若存在垂直于作用面的法向作用力pn，由流体不能承受拉力的性质可知：垂向作用力pn只能为压力。垂向作用力pn指向作用面。2掌握第二章流体静力学m图2-1静止流体中的单元体m图2-1静止流体中的单元体综上，静压力的方向必垂直且指向作用面，即永远沿着作用面的内法线方向。二、静压力的两个特性1．静压力方向永远沿着作用面内法线方向（“内”—指向作用面；“法线”—垂直作用面）。证明：（反证法）如图，取静止流体中任意隔离体。设切割面上任一点m处静压力p为任意方向。则p一定可分解为垂直于作用面的法向分力pn和平行于作用面的切向分力τ。ppnτ静止流体不能承受剪切作用力τ1垂向作用力pn指向作用面。2掌握第二章流体静力学2．静止流体中任何一点上各个方向的静压力大小相等，与作用面方位无关。即静压力各向等值。取微元体（研究对象）受力分析导出关系(平衡关系)得出结论——微元分析法一般流体力学证明思路第二章流体静力学证明：微元分析法(顺证法)1.取微元体：如图，取静止流体中四面体微元oABC，建立oxyz直角坐标系。2.受力分析：质量力——重力、惯性力，用单位质量力表示。表面力——仅有压力作用：px、py、pz、pn（n为任意方向）分别表示作用在垂直于x、y、z轴的坐标面和斜面△ABC上的静压力，Px、Py、Pz、Pn表示总压力。fXiYjZk质量力表面力重力惯性力正应力剪应力绝对静止相对静止√√×√×质量力表面力重力惯性力正应力剪应力绝对静止相对静止√√×√×质量力表面力重力惯性力正应力剪应力绝对静止相对静止质量力表面力重力惯性力正应力剪应力绝对静止相对静止√√×√×pypxpzyxzoABCdydxdzm图2-2静止流体中四面体微元pnpypxpzyxzoABCdydxdzm图2-2静止流体中四面体微元pypxpzyxzoABCdydxdzmpypxpzyxzoABCdydxdzpypxpzyxzoABCpypxpzyxzoABCdydxdzm图2-2静止流体中四面体微元pn第二章流体静力学3.导出关系：以x方向为例，有：x方向上的质量力：x方向上的表面力：根据静止流体受力平衡原理，11cos(,)062xnXdxdydzpdydzpABCnx质量力x面压力ΔABC面压力1110622xnXdxdydzpdydzpdydz0F16Xdxdydz1cos(,)2xnpdydzpABCnxpypxpzyxzoABCdydxdzm图2-2静止流体中四面体微元pnpypxpzyxzoABCdydxdzm图2-2静止流体中四面体微元pypxpzyxzoABCdydxdzmpypxpzyxzoABCdydxdzpypxpzyxzoABCpypxpzyxzoABCdydxdzm图2-2静止流体中四面体微元pn第二章流体静力学4.得出结论：当四面体ΔABC缩小到o点时，式中的质量力与其它两项相比为高阶小量，可忽略不计。同理，可得：因此，在连续介质中，一点的静压力仅是点坐标的连续函数，即有：p=p(x,y,z)。得证。xnppxyznpppp1110622xnXdxdydzpdydzpdydz第二章流体静力学巴斯加定律了解§2.2流体平衡微分方程式等压面及其方程、性质掌握流体平衡微分方程第二章流体静力学取微元体（研究对象）受力分析导出关系(平衡关系)得出结论——微元分析法一般流体力学证明思路一、流体平衡微分方程式的建立第二章流体静力学应用微元分析法建立流体平衡方程。1.取微元体：取如图所示的六面体微元，边长dx、dy、dz。2.受力分析：质量力——重力、惯性力，用单位质量力表示。表面力——仅有静压力p作用。fXiYjZk图2-3静止流体中六面体微元pAxzdxdydz12ppdxx12ppdxxA1A2y图2-3静止流体中六面体微元pAxzdxdydz12ppdxx12ppdxxA1A2y质量力表面力重力惯性力正应力剪应力绝对静止相对静止√√×√×质量力表面力重力惯性力正应力剪应力绝对静止相对静止√√×√×质量力表面力重力惯性力正应力剪应力绝对静止相对静止质量力表面力重力惯性力正应力剪应力绝对静止相对静止√√×√×第二章流体静力学A点的压力为p，则A1、A2点的压力可通过泰勒级数展开得出：略去二阶以上高阶小量后，得：2212111111(,,)(,,)()()()222!2!2nnnpppppxdxyzpxyzdxdxdxxxnx2222111111(,,)(,,)()()()222!2!2nnnpppppxdxyzpxyzdxdxdxxxnx112pppdxx212pppdxx图2-3静止流体中六面体微元pAxzdxdydz12ppdxx12ppdxxA1A2y图2-3静止流体中六面体微元pAxzdxdydz12ppdxx12ppdxxA1A2y第二章流体静力学3.导出关系：根据流体平衡的充要条件，静止流体所受的所有外力在各个坐标轴方向上的投影之和为零，即。以x方向为例：同理，可得：11()()022ppXdxdydzpdxdydzpdxdydzxx10pXx0iF10pYy10pZz第二章流体静力学4.得出结论：流体平衡微分方程式，由1755年欧拉提出，又称为欧拉平衡方程式。流体平衡微分方程式的物理意义：对于单位质量的流体，其质量力与表面力在任何方向上都应保持平衡，即质量力与该方向上表面力的合力应大小相等、方向相反。流体平衡微分方程的适用范围：理想流体或实际流体绝对静止或相对静止流体不可压缩或可压缩流体流体平衡微分方程101010pXxpYypZz质量力表面力掌握I第二章流体静力学1.流体平衡微分方程式的积分为寻求静止流体内静压强p的分布规律，取各方向欧拉平衡方程分别乘以dx，dy，dz，并相加，得：静止流体中，静压强p只是坐标的函数：，压强p的全微分dp可写为：因此有：流体平衡微分方程压力全微分形式111()()()0pppXdxYdyZdzxyz()pppdxdydzXdxYdyZdzxyzpppdpdxdydzxyz()dpXdxYdyZdz二、流体平衡微分方程式的积分掌握Ⅱ(,,)ppxyz第二章流体静力学2．力势函数对于不可压缩流体。式（II）的左边是压强的全微分，则从数学的角度而言，其右边亦应是某一坐标函数U（x,y,z）的全微分，方程才有意义。即：。同时：得：满足上式的函数U（x,y,z）称为力函数（或势函数），具有这样力函数的质量力称为有势力。如：重力。因此，流体只有在有势的质量力作用下才能保持平衡，此时平衡微分方程为：ConstdUXdxYdyZdzUUUdUdxdydzxyz;;UUUXYZxyzdpdU流体平衡微分方程势函数形式ⅢfXiYjZk第二章流体静力学3．巴斯加（帕斯卡）定律积分式（III）得：若已知液体表面或内部任意点处的力函数U0和压力p0，则可得：在平衡状态下的不可压缩流体中，作用在其边界面上的压力p0，将等值、均匀地传递到流体的所有各点，这就是巴斯加定律。pUC流体中任意点的压强由有势力产生的压强p0等值、均匀传递00()ppUU第二章流体静力学4.等压面定义：同种连续静止流体中（），静压强相等的点组成的面。等压面的方程：由，且，得：等压面方程为：i液体的自由表面是最为常见的等压面，等压面上的压力为大气压，即：。()0dpXdxYdyZdz0XdxYdyZdzappConstConst掌握第二章流体静力学等压面的特性：（1）等压面即等势面，有：。（2）等压面方程用矢量形式可表示为：，其中：为沿等压面的无穷小距离。因此：等压面与质量力相正交。（3）等压面不能相交。（4）两种互不相溶的流体平衡时的分界面为等压面。0dUXdxYdyZdz0fdsdsdxidyjdzkds掌握第二章流体静力学§2.3重力作用下的流体平衡各种压强表示方法重点掌握静力学基本方程及其应用第二章流体静力学研究对象：流体相对于地球没有运动的静止状态，即绝对静止状态。是工程中最为常见的流体平衡状态，此时质量力只有重力。一、静力学基本方程式（重力作用下的流体平衡方程）取重力作用下的静止流体为研究对象，如图。建立直角坐标：原点选在自由液面上，z轴垂直向上。受力分析：质量力（重力）和压力p0,0,XYZg重点掌握图2-4重力作用下的静止流体xyzp0mho图2-4重力作用下的静止流体xyzp0mhoxyzp0mhxyzp0mho第二章流体静力学导出关系：根据流体平衡微分方程式有：得出结论：对于不可压缩流体γ=Const时，可积分上式得：()dpXdxYdyZdz0dpdz()dpXdxYdyZdzgdzdz图2-4重力作用下的静止流体xyzp0mho水静力学基本方程IpzCA说明：水静力学基本方程的适用条件：γ=Const，即不可压缩静止流体。第二章流体静力学已知在自由表面上，有：，且以静止液体中某点离自由液面的深度h代替-z。由式，又可得：A说明：静止流体中的压强分布，由两部分组成——等值传递的液面压力p0以