反常积分判敛法

６.２反常积分判敛法一、无穷区间上反常积分的判敛法二、无界函数反常积分的判敛法三、Γ函数6.2反常积分判敛法22.(0)padxpax积分：时收敛，1p当1p当时发散。3.()()()bbqqaadxdxqabxabx积分：及时收敛，1q当1q当时发散。复习：1．反常积分无穷区间的反常积分无界函数的反常积分6.2反常积分判敛法3一、无穷区间上反常积分的判敛法定理1(比较判别法)设),[)(),(aCxgxf，且)()(0xgxf（),[ax），则（1）当)(adxxg收敛时，)(adxxf也收敛；（2）当)(adxxf发散时，)(adxxg也发散。6.2反常积分判敛法4∵()()0Ibfb，∴()Ib单调不减且有上界，故lim()lim()babbIbfxdx存在，即()afxdx收敛。（2）用反证法由（1）即得。证明：（1）设()agxdx收敛于A，∵0()()fxgx，∴ba，有()()()()bbaaaIbfxdxgxdxgxdxA,6.2反常积分判敛法5例1．判别下列反常积分的敛散性：（1）211sindxx解：(1)∵22110sinxx，而211dxx收敛，∴211sindxx收敛。（2）01sindxxx（2）∵1101sin1xxx，而00ln(1)1dxxx，∴01dxx发散，故01sindxxx也发散。6.2反常积分判敛法6定理2(极限判别法)设),[)(aCxf，0)(xf，且lxfxpx)(lim，则（1）当1p，l0时，)(adxxf收敛；（2）当1p，l0时，)(adxxf发散。由于反常积分)0(axdxap当1p时收敛；当1p时发散。因此在定理1中取pxxg1)(，即可得反常积分的极限判别法。6.2反常积分判敛法7（1）314arctan1xxdxx解：（1）∵5634arctanlim21xxxxx，5(1,0)62pl∴314arctan1xxdxx发散。例2．判别下列反常积分的敛散性：（2）20xedx∴20xedx收敛。（2）∵2222limlim0xxxxxxee，(2,0)pl6.2反常积分判敛法8注意：比较法和极限法只有在被积函数非负的条件下才能使用。结论：设),[)(aCxf，若)(adxxf收敛，则)(adxxf也收敛。即绝对收敛的反常积分)(adxxf必定收敛。例3．判别反常积分0sinaxebxdx(,ab都是常数，且0a)的敛散性。解：∵sinaxaxebxe，而0axedx收敛，∴0sinaxebxdx收敛，从而0sinaxebxdx收敛。6.2反常积分判敛法9二、无界函数反常积分的判敛法设),[)(),(baCxgxf，bx为无穷型间断点，且),[bax时，)()(0xgxf，则（1）当badxxg)(收敛时，badxxf)(也收敛；（2）当badxxf)(发散时，badxxg)(也发散。定理3(比较判别法)6.2反常积分判敛法10设),[)(baCxf，0)(xf，bx为无穷型间断点，且lxfxbqbx)()(lim，则（1）当1q，l0时，badxxf)(收敛；（2）当1q，l0时，badxxf)(发散。若ax为无穷型间断点，相应的极限式为lxfaxqax)()(lim。定理4(极限判别法)6.2反常积分判敛法11例3.判断下列反常积分的敛散性：102222)1()1)(1()1(kxkxdx椭圆积分01(2)sindxx211(,)22(1)qlk收敛收敛6.2反常积分判敛法12例3.判断下列反常积分的敛散性：102222)1()1)(1()1(kxkxdx椭圆积分∵1222211lim(1)(1)(1)xxxkx222111lim,(1)(1)2(1)xxkxk∴10222(1)(1)dxxkx收敛。解：1x是瑕点。211(,)22(1)qlk6.2反常积分判敛法1301(2)sindxx解：0x和x是瑕点，为此讨论下面两个反常积分0211sinIdxx和221sinIdxx的敛散性∵12001limlim1sinsinxxxxxx，1(,1)2ql∴1I收敛。∵121lim()lim1sin()sinxxxxxx，1(,1)2ql∴2I收敛。故1201sindxIIx收敛。6.2反常积分判敛法14∴101sinxdxx，从而101sinxdxx收敛。（3）101sinxdxx解：∵1sin1xxx，而101dxx（12q的q积分）收敛，当反常积分的被积函数在所讨论的区间上可取正值也可取负值时，可引入绝对收敛的概念.6.2反常积分判敛法15例4.讨论反常积分dttext01的敛散性。解：此积分的积分区间为无穷区间，又当1x时，0t是被积函数的瑕点。1110txIetdt，121txIetdt，先讨论1I的敛散性。①当1x时，1I是常义积分，收敛的；为此讨论下列两个反常积分：6.2反常积分判敛法16∴1110txIetdt收敛。③0x时，有再讨论2I的敛散性。∵121limlim0xtxtttttete，∴121txIetdt收敛。故反常积分10txetdt，当0x时收敛；当0x时发散。(21,0)pl111,qxl②当01x时，有11,1,qxl∴1110txIetdt发散。∵1100lim(0)lim1xtxttttete，6.2反常积分判敛法17三、Γ函数1.函数的定义函数dttxxte)(10，),0(x称为Gamma函数。2．函数的递推公式：)0)(()1(xxxx当x为正整数n时，有(1)()(1)(1)nnnnnn(1)(2)21(1)!(1)nnnn而0(1)1tedt，故(1)!nn。6.2反常积分判敛法183．函数的定义域的扩充当01x，即01x时，)1(x有定义，从而定义xxx)1()(，01x，当12x，即011x时，)1(x有定义，再定义xxx)1()(，12x，依次类推，可将)(x的定义域扩充为除0与负整数之外的一切实数，即10,0()(1),01,2,3,txetdtxxxxxx且6.2反常积分判敛法194．函数的其它形式在dttexxt)(10中，令)0(2uut，则得函数的另一种形式：duuexxu2)(1202。在上式中令21x，则得222)21(02dueu。6.2反常积分判敛法20例．用函数表示下列积分：10()txxetdt(1)()xxx（1）8190xxedx解：令8xt，78xdxdt，881912700188xxxedxexxdx512018tetdt1513()(1)828213113113(1)().822822232133()8226.2反常积分判敛法21（2）dxxxxe122112201(1)2tIetetdt(1).2e10()txxetdt1[()(1)]22e1()2解：2221(1)11xxxIxedxxedx2(1)1xexedx令2(1)tx，则121xt，1212dxtdt，1200[]2tteetdtedt6.2反常积分判敛法22习题三（P22）1(1)(4)(5)(6)(8)；2(2)(3)作业