反常积分法课件

第四节反常积分一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分三、小结思考题定义1设函数)(xf在区间),[a上连续，取ab，如果极限babdxxf)(lim存在，则称此极限为函数)(xf在无穷区间),[a上的反常积分，记作adxxf)(.adxxf)(babdxxf)(lim当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，函数)(xf在区间),[a上的反常积分adxxf)(就没有意义，习惯上称为反常积分发散，此时adxxf)(不再表示数值了.一、无穷限的反常积分类似地，设函数)(xf在区间],(b上连续，取ba，如果极限baadxxf)(lim存在，则称此极限为函数)(xf在无穷区间],(b上的反常积分，记作bdxxf)(.bdxxf)(baadxxf)(lim当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，习惯上称之为反常积分发散.设函数)(xf在区间),(上连续,如果反常积分0)(dxxf和0)(dxxf都收敛，则称上述两反常积分之和为函数)(xf在无穷区间),(上的反常积分，记作dxxf)(.dxxf)(0)(dxxf0)(dxxf0)(limaadxxfbbdxxf0)(lim极限存在称反常积分收敛；否则称反常积分发散.上述积分统称为无穷限的反常积分。例1计算反常积分.12xdx解21xdx021xdx021xdx0211limaadxxbbdxx0211lim0arctanlimaaxbbx0arctanlimaaarctanlimbbarctanlim.22例2计算反常积分解.1sin122dxxx21sin12dxxx211sinxdxbbxdx211sinlimbbx21coslim2cos1coslimbb.1例3证明反常积分11dxxp当1p时收敛，当1p时发散.证,1)1(p11dxxp11dxx1lnx,,1)2(p11dxxp111pxp1,111,ppp因此当1p时反常积分收敛，其值为11p；当1p时反常积分发散.1lnlnlimxx定义2设函数)(xf在区间],(ba上连续，点a为f(x)的瑕点.如果极限lim()bttafxdx存在，则称此极限为函数)(xf在区间],(ba上的反常积分，记作badxxf)(.badxxf)(当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称反常积分发散.二、无界函数的反常积分(瑕积分)()()fxaafx若在点的任一邻域内无界，则称为的瑕点.lim()bttafxdx类似地，设函数)(xf在区间),[ba上连续，点b为)(xf的瑕点.若极限lim()tatbfxdx存在，则称此极限为函数)(xf在区间),[ba上的反常积分，记作()lim()btaatbfxdxfxdx.当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称反常积分发散.设函数)(xf在区间],[ba上除点)(bcac外连续，点c为)(xf的瑕点.如果两个反常积分cadxxf)(和bcdxxf)(都收敛，则定义badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(lim()lim()tbattctcfxdxfxdx；否则，就称反常积分badxxf)(发散.以上积分称为瑕积分.例4计算反常积分解).0(022axadxa221lim,xaaxax为瑕点.axadx022022limttadxax0limarcsinttaxalimarcsin0tata.2例5证明反常积分101dxxq当1q时收敛，当1q时发散.证,1)1(q101dxx10lnx,1)2(q101dxxq1011qxq1,111,qqq因此当1q时反常积分收敛，其值为q11；当1q时反常积分发散.101dxxqxxlnlim1ln0例6计算反常积分解.ln21xxdx21lnxxdx21limlnttdxxx21(ln)limlnttdxx21limln(ln)ttx1limln(ln2)ln(ln)tt.故原反常积分发散.例7计算反常积分解.)1(3032xdx1x瑕点3032)1(xdx103132)1()(xdx1032)1(xdx2301lim(1)ttdxx33132)1(xdx2331lim(1)ttdxx,2333032)1(xdx).21(33无界函数的反常积分（瑕积分）无穷限的反常积分dxxf)(bdxxf)(adxxf)(cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(（注意：不能忽略内部的瑕点）badxxf)(三、小结思考题积分的瑕点是哪几点？101lndxxx思考题解答积分可能的瑕点是101lndxxx1,0xx1lnlim1xxx,11lim1xx1x不是瑕点,101lndxxx的瑕点是.0x一、填空题：1、广义积分1pxdx当_______时收敛；当______时发散；2、广义积分10qxdx当_______时收敛；当_______时发散；3、广义积分2)(lnkxxdx在______时收敛；在_______时发散；4、广义积分dxxx21=____；练习题5、广义积分1021xxdx________；6、广义积分xdttf)(的几何意义是______________________________________.二、判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计算广义积分的值：1、0coshtdtept)1(p；2、222xxdx；3、0dxexxn（为自然数n）；4、202)1(xdx；5、211xxdx；6、022)1(lndxxxx；7、10lnxdxn.三、求当为何值时k，广义积分)()(abaxdxbak收敛？又为何值时k，这广义积分发散？四、已知xxxxxf2,120,210,0)(，试用分段函数表示xdttf)(.一、1、1,1pp；2、1,1qq；3、1,1kk；4、发散；5、1；6、过点轴平行于yx的直线左边,曲线)(xfy轴和x所围图形的面积.二、1、12pp；2、；3、!n；4、发散；5、322；6、0；7、!)1(nn.三、当1k时收敛于kabk1)(11；当1k时发散.四、xxxxxdttfx2,120,410,0)(2.练习题答案