二、无界函数反常积分的审敛法反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分一、无穷限反常积分的审敛法第五节反常积分的审敛法函数第五章一、无穷限的广义积分的审敛法收敛.上有界,则广义积分在.若函数且上连续,在区间定理1 设函数axadxxfadttfxFxfaxf)(),[)()(0)(),[)(不通过被积函数的原函数判定广义积分收敛性的判定方法.由定理1,对于非负函数的无穷限的广义积分有以下比较收敛原理.也发散.发散,则且并也收敛;如果收敛,则并且上连续,如果区间在、设函数比较审敛原理 定理aaaadxxfdxxgxaxfxgdxxfdxxgxaxgxfaxgxf)()(),()()(0)()(),()()(0),[)()()(2证.)()()()()()(0ababaadxxgdxxgdxxfdxxgxgxfba收敛,得及,由设上有上界.在即),[)()(adxxfbFba由定理1知收敛.adxxf)(.)(,)(),()(0必定发散则发散且如果aadxxfdxxgxfxg也收,这与假设矛盾.收敛,由第一部分知如果aadxxgdxxf)()(例如,时发散.当时收敛;当广义积分11)0(Ppaxdxap发散.则,,使得常数收敛;如果存在则,使得及存在常数如果上连续,且在区间设函数比较审敛法1 定理aapdxxfxaxNxfNdxxfxaxMxfpMxfaaxf)()()(0)(),()(10.0)()0(),[)()(3例1.1134的收敛性判别广义积分xdx解,111103/43434xxx,134p根据比较审敛法1,.1134收敛广义积分xdx发散.则或如果收敛;存在,则使得,如果存在常数上连续,且在区间设函数极限审敛法1 定理axxapxdxxfxxfdxxfdxxfxfxpxfaaxf)(),)(lim(0)(lim)()(lim1.0)()0(),[)()(4例2.112的收敛性判别广义积分xxdx解,111lim22xxxx所给广义积分收敛.例3.1122/3的收敛性判别广义积分dxxx解2222/31lim1limxxxxxxxx,根据极限审敛法1,所给广义积分发散.例4.arctan1的收敛性判别广义积分dxxx解xxxxxxarctanlimarctanlim,2根据极限审敛法1,所给广义积分发散.也收敛.收敛;则如果上连续,在区间 设函数定理aadxxfdxxfaxf)()(),[)(5证).)()((21)(xfxfx令,)()(0)(xfxx,且,)(收敛dxxfa.)(也收敛dxxa,)()(2)(xfxxf但,)()(2)(bababadxxfdxxdxxf.)()(2)(aaadxxfdxxdxxf即收敛..)(5称为绝对收敛条件的广义积分满足定理定义adxxf必定收敛.绝对收敛的广义积分adxxf)(例5.)0,(sin0的收敛性常数都是判别广义积分abadxbxeax解.,sin0收敛而dxeebxeaxaxax.sin0收敛dxbxeax所以所给广义积分收敛.二、无界函数的广义积分的审敛法.)(),()()(10)(),()()(10.)(lim,0)(],()()2(60发散则广义积分,使得及收敛;如果存在常数则广义积分,使得及常数如果存在上连续,且在区间设函数比较审敛法 定理baqbaqaxdxxfbxaaxNxfqNdxxfbxaaxMxfqMxfxfbaxf发散.分则广义积或,使得如果存在常数收敛;则广义积分存在,使得如果存在常数上连续,且在区间 设函数极限审敛法定理7baqaxqaxbaqaxaxdxxfxfaxdxfaxqdxxfxfaxqxfxfbaxf)(),)()(lim(0)()(lim1)(,)()(lim10.)(lim,0)(],()()2(0000例6.ln31的收敛性判别广义积分xdx解的左邻域内无界.被积函数在点1x由洛必达法则知xxxxx11limln1)1(lim0101,01根据极限审敛法2,所给广义积分发散.例7.1sin31的收敛性判别广义积分dxxx解也收敛.从而dxxx101sin收敛,而01,11sinxdxxxx收敛,dxxx101sin根据比较审敛原理,例8.判定椭圆积分)1()1)(1(d210222kxkxx散性.解:,1为瑕点此处x由于的敛21)1(x)1)(1(1222xkx)1)(1(1lim221xkxx)1(212k根据极限审敛法2,椭圆积分收敛.类似定理5,有下列结论:,)(d)(baaxxf收敛为瑕点若反常积分例9.判别反常积分的敛散性.解:,d)(baxxf收敛称为绝对收敛.,0为瑕点此处x,0lnlim410xxx因,1ln,41xxx有的故对充分小从而4141lnlnxxxxx411x据比较审敛法2,所给积分绝对收敛.则反常积分)0()(01sdxxessx定义特点:1.积分区间为无穷;.001.2右领域内无界的时被积函数在点当xs,,1121011dxxeIdxxeIsxsx设;,1)1(1是常义积分时当Is,10时当s函数三、,111111sxssxxexxe.,2,111收敛根据比较审敛法而Is,0lim)(lim)2(112xsxsxxexxex.,12也收敛根据极限审敛法I.0)2(),1(01均收敛对知由sdxxesxs)(so-函数的几个重要性质:).0()()1(ssss1.递推公式.)(0ss时,2.当).10(sin)1()(3ssss.余元公式.2)()(0122012duuesuxdxxessusx有,中,作代换4.在四、小结比较审敛法1极限审敛法1无穷限的广义积分审敛法比较审敛法2极限审敛法2无界函数的广义积分审敛法广义积分审敛法绝对收敛练习题;23.4;)(ln.3;1sin.2;1.12132213120242xxdxxdxdxxdxxxx的收敛性:一、判别下列广义积分.)1(ln.2);0(.1100dxxndxepxn收敛范围:指出这些积分的函数表示下列积分,并二、用).21()(2)2(:12nnnnn为自然数)三、证明(其中练习题答案一、1、收敛;2、收敛;3、发散;4、收敛;.1),1(2;0),1(11ppnnn、、二、