反常积分的计算

一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分§6.4反常积分上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页dxxfdxxfbaba)(lim)(一、无穷限的反常积分无穷限的反常积分的定义在反常积分的定义式中,如果极限是存在的,则称此反常积分收敛,否则称此反常积分发散连续函数f(x)在区间[a,)上的反常积分定义为下页类似地,连续函数f(x)在区间(,b]上和在区间(,)的反常积分定义为dxxfdxxfdxxfbbaa)(lim)(lim)(00dxxfdxxfbaab)(lim)(上页下页铃结束返回首页下页dxxfdxxfbaba)(lim)(一、无穷限的反常积分无穷限的反常积分的定义连续函数f(x)在区间[a,)上的反常积分定义为•反常积分的计算如果F(x)是f(x)的原函数,则有)()(lim)]([)(aFxFxFdxxfxaababbabaxFdxxfdxxf)]([lim)(lim)()()(lim)()(limaFxFaFbFxb可采用如下简记形式：babbabaxFdxxfdxxf)]([lim)(lim)()()(lim)()(limaFxFaFbFxb上页下页铃结束返回首页dxxfdxxfbaba)(lim)(一、无穷限的反常积分无穷限的反常积分的定义连续函数f(x)在区间[a,)上的反常积分定义为•反常积分的计算如果F(x)是f(x)的原函数,则有)()(lim)]([)(aFxFxFdxxfxaa类似地,有)(lim)()]([)(xFbFxFdxxfxbb,)(lim)(lim)]([)(xFxFxFdxxfxx下页上页下页铃结束返回首页解例1计算反常积分dxx211例1下页)(lim)(lim)]([)(xFxFxFdxxfxx)2(2解][arctan112xdxxxxxxarctanlimarctanlim解][arctan112xdxx上页下页铃结束返回首页0]11[dteptepptpt解000]1[][ptptpttdepdttedtte提示：例2计算反常积分dttept0(p是常数,且p0)例2下页)()(lim)]([)(aFxFxFdxxfxaa02]11[ptpteptep22211]11[limppeptepptptt解22211]11[limppeptepptptt01limlimlimpttpttpttpeette01limlimlimpttpttpttpeette01limlimlimpttpttpttpeette解000]1[][ptptpttdepdttedtte解000]1[][ptptpttdepdttedtte上页下页铃结束返回首页解例3讨论反常积分dxxpa1(a0)的敛散性例3解当p1时,][ln11aapaxdxxdxx解当p1时,][ln11aapaxdxxdxx当p1时,1]11[1appaxpdxx当p1时,1]11[1appaxpdxx当p1时,1]11[111paxpdxxpappa当p1时,此反常积分发散解当p1时,][ln11aapaxdxxdxx解当p1时,][ln11aapaxdxxdxx当p1时,1]11[1appaxpdxx当p1时,1]11[1appaxpdxx当p1时,1]11[111paxpdxxpappa当p1时,1]11[111paxpdxxpappa当p1时,1]11[111paxpdxxpappa因此,当p1时,此反常积分收敛,其值为11pap首页)()(lim)]([)(aFxFxFdxxfxaa上页下页铃结束返回首页二、无界函数的反常积分注：如果函数f(x)在点x0的任一邻域内都无界,那么点x0称为函数f(x)的瑕点(也称为无界间断点)无界函数的反常积分又称为瑕积分无界函数反常积分的定义设函数f(x)在区间(a,b]上连续,点a为f(x)的瑕点函数f(x)在(a,b]上的反常积分定义为btatbadxxfdxxf)(lim)(下页在反常积分的定义式中,如果极限是存在的,则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散上页下页铃结束返回首页函数f(x)在[a,c)(c,b]上(c为瑕点)的反常积分定义为二、无界函数的反常积分类似地,函数f(x)在[a,b)上(b为瑕点)的反常积分定义为dxxfdxxftabtba)(lim)(btcttactbadxxfdxxfdxxf)(lim)(lim)(下页无界函数反常积分的定义设函数f(x)在区间(a,b]上连续,点a为f(x)的瑕点函数f(x)在(a,b]上的反常积分定义为btatbadxxfdxxf)(lim)(上页下页铃结束返回首页二、无界函数的反常积分无界函数反常积分的定义设函数f(x)在区间(a,b]上连续,点a为f(x)的瑕点函数f(x)在(a,b]上的反常积分定义为btatbadxxfdxxf)(lim)(•反常积分的计算如果F(x)为f(x)的原函数,btatbtatbaxFdxxfdxxf)]([lim)(lim)()(lim)()(lim)(xFbFtFbFaxat)(lim)()]([)(xFbFxFdxxfaxbaba可采用简记形式btatbtatbaxFdxxfdxxf)]([lim)(lim)()(lim)()(lim)(xFbFtFbFaxat则f(x)在(a,b]上的反常积分为下页上页下页铃结束返回首页)(lim)()]([)(xFbFxFdxxfaxbaba二、无界函数的反常积分无界函数反常积分的定义设函数f(x)在区间(a,b]上连续,点a为f(x)的瑕点函数f(x)在(a,b]上的反常积分定义为btatbadxxfdxxf)(lim)(•反常积分的计算如果F(x)为f(x)的原函数,则f(x)在(a,b]上的反常积分为提问：f(x)在[a,b)上和在[a,c)(c,b]上的反常积分如何计算？如何判断反常积分的敛散性？下页上页下页铃结束返回首页解因为221limxaax,所以点a为被积函数的瑕点解例4计算反常积分dxxaa2201例4下页aaaxdxxa0022][arcsin120arcsinlimaxaxaaaxdxxa0022][arcsin120arcsinlimaxax当a为瑕点时,)(lim)()]([)(xFbFxFdxxfaxbaba当b为瑕点时,)()(lim)]([)(aFxFxFdxxfbxbaba上页下页铃结束返回首页由于1)1(lim]1[1001012xxdxxx,解例5例5讨论反常积分1121dxx的收敛性解在区间[1,1]上x0为函数21x的瑕点即反常积分0121dxx发散,所以反常积分1121dxx发散即反常积分0121dxx发散,所以反常积分1121dxx发散下页当c(acb)为瑕点时,)](lim)([)]()(lim[)()()(xFbFaFxFdxxfdxxfdxxfcxcxbccaba由于1)1(lim]1[1001012xxdxxx,由于1)1(lim]1[1001012xxdxxx,由于1)1(lim]1[1001012xxdxxx,上页下页铃结束返回首页当q1时,qbaqbaqabqaxqaxdx11)(11])(11[)(当q1时,baqbaqaxqaxdx1])(11[)(解例6例6讨论反常积分baqaxdx)(的敛散性解当q1时,bababaqaxaxdxaxdx)][ln()(因此,当q1时,此反常积分收敛,其值为qabq1)(11当q1时,此反常积分发散解当q1时,bababaqaxaxdxaxdx)][ln()(解当q1时,bababaqaxaxdxaxdx)][ln()(解当q1时,bababaqaxaxdxaxdx)][ln()(解当q1时,bababaqaxaxdxaxdx)][ln()(当q1时,baqbaqaxqaxdx1])(11[)(当q1时,baqbaqaxqaxdx1])(11[)(当q1时,baqbaqaxqaxdx1])(11[)(当q1时,qbaqbaqabqaxqaxdx11)(11])(11[)(当q1时,qbaqbaqabqaxqaxdx11)(11])(11[)(当q1时,qbaqbaqabqaxqaxdx11)(11])(11[)(结束上页下页铃结束返回首页例7.解：求的无穷间断点,故I为反常xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfCxf)(arctan012d)(1)(xxfxfI322d)(1)(xxfxf积分.]2]222732arctan312d)(1)(xxfxfI202d)(1)(xxfxf上页下页铃结束返回首页说明:(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化.例如,10121d122txxx102112)()d(xxxx022dtt(2)当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.上页下页铃结束返回首页(3)有时需考虑主值意义下的反常积分.其定义为baxxfd)(v.p.),(bcac为瑕点xxfd)(v.p.xxfaaad)(limxxfxxfbccad)(d)(lim0常积分收敛.注意:主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反上页下页铃结束返回首页041dxx计算41dxx上页下页铃结束返回首页例题试证xxxxxd11d04204,并求其值.解:令xt1tttd1112014tttd1042xxxxxxxd11d211d0420404xxxd1121042