初二下数学分式方程经典例题及练习

初二数学分式方程专题一、考点、热点回顾分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。解分式方程的步骤：（1）能化简的先化简；（2）方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；（3）解整式方程；（4）验根．增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。（验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。列方程应用题的步骤是什么？(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种：(1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．(2)数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法．(3)工程问题基本公式：工作量=工时×工效．(4)顺水逆水问题v顺水=v静水+v水．v逆水=v静水-v水．即时知识梳理1．分式方程:分母中含有的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.（验根的方法：将所求得的未知数的知数的值代入）3.列方程解决实际问题的步骤（1）审；找出（2）设；（3）列；（4）解；检验：是否是原方程的根；这个根在实际问题中是否有实际意义；（5）答；二、典型例题题型一:分式方程题型【例1】解下列分式方程（1）114112xxx；（2）xxxx4535；（3）4441xxxx；（4）61244444402222yyyyyyyy例2、解方程xxxxxxxx12672356练习：（1）11115674xxxx（2）121043323489242387161945xxxxxxxx（3）【例2】（1）若关于x的方程211333xxkxxxx有增根,求增根和k的值（2）、m为何值时，关于x的方程22432xmxxx会产生增根？解：方程两边都乘以x24，得2436xmxx整理，得()mx110242401111xxxxxxxx当时，如果方程产生增根，那么，即或（）若，则（）若，则（）综上所述，当或时，原方程产生增根mxmxxxxmmxmmm11014022121012422101263462说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根练习：1．若解分式方程2111xxmxxxx产生增根，则m的值是（）A.12或B.12或C.12或D.12或分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：xx01或，化简原方程为：21122xmx()()，把xx01或代入解得m12或，故选择D。【例3】1、当k为何值时，关于x的方程1)2)(1(23xxkxx的解为非负数.2、若分式方程122xax的解是正数，求a的取值范围.【例4】1、已知关于x的分式方程axa112无解，试求a的值.2、若关于的x的分式方程111132xmxxx无解，求m的值【例5】列分式方程解应用题：为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵．由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．请求原计划每小时植树多少棵？例6、某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少3元，比乙种原料每千克多1元，问混合后的单价每千克是多少元？分析：市场经济中，常遇到营销类应用性问题，与价格有关的是：单价、总价、平均价等，要了解它们的意义，建立它们之间的关系式．解：设混合后的单价为每千克x元，则甲种原料的单价为每千克(3)x元，混合后的总价值为(2000＋4800)元，混合后的重量为x48002000斤，甲种原料的重量为32000x，乙种原料的重量为14800x，依题意，得：总价值价格数量甲2000元乙4800元混合X元32000x＋14800x=x48002000，解得17x，经检验，17x是原方程的根，所以17x．即混合后的单价为每千克17元．评析：营销类应用性问题，涉及进货价、售货价、利润率、单价、混合价、赢利、亏损等概念，要结合实际问题对它们表述的意义有所了解，同时，要掌握好基本公式，巧妙建立关系式．随着市场经济体制的建立，这类问题具有较强的时代气息，因而成为中考常考不衰的热点问题．练习A、B两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同．其中，采购员A每次购买1000千克，采购员B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？解：两次购买的饲料单价分别为每1千克m元和n元(m0,n0,m≠n)，依题意，得：采购员A两次购买饲料的平均单价为(元／千克)，采购员B两次购买饲料的平均单价为(元／千克)．而＞0．也就是说，采购员A所购饲料的平均单价高于采购员B所购饲料的平均单价，所以选用采购员B的购买方式合算．例5、某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共5500元．⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为x天，y天，z天，可列出分式方程组．解：⑴设甲队单独做需x天完成，乙队单独做需y天完成，丙队单独做需z天完成，依题意可得：116()11110()11125()3xyyzxz，①，②．③①×61＋②×101＋③×51，得x1＋y1＋z1=51．④④－①×61，得z1=301，即z=30，④－②×101，得x1=101，即x=10，④－③×51，得y1=151，即y=15．经检验，x=10，y=15，z=30是原方程组的解．⑵设甲队做一天厂家需付a元，乙队做一天厂家需付b元，丙队做一天厂家需付c元，根据题意，得6()870010()95005()5500abbcca，，．800650300abc，，．由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．此工程由甲队单独完成需花钱108000a元；此工程由乙队单独完成需花钱159750b元．所以，由甲队单独完成此工程花钱最少．评析：在求解时，把x1，y1，z1分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解．练习：今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？解：设教师乙每分钟能输入x名学生的成绩，则教师甲每分钟能输入2x名学生的成绩，依题意，得：，解得x＝11经检验，x＝11是原方程的解，且当x＝11时，2x＝22，符合题意．即教师甲每分钟能输入22名学生的成绩，教师乙每分钟能输入11名学生的成绩．例5、轮船顺流、逆流各走48千米，共需5小时，如果水流速度是4千米/小时，求轮船在静水中的速度。分析：顺流速度=轮船在静水中的速度+水流的速度逆流速度=轮船在静水中的速度-水流的速度等量关系：顺流用时+逆流用时=5（小时）练习：轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度。分析：此题的等量关系很明显：顺水航行30千米的时间=逆水中航行20千米的时间，即顺水航行速度千米30=逆水航行速度千米20．设船在静水中的速度为x千米／时，又知水流速度，于是顺水航行速度、逆水航行速度可用未知数表示，问题可解决．解：设船在静水中速度为x千米／时，则顺水航行速度为(2)x千米／时，逆水航行速度为(2)x千米／时，依题意，得路程速度时间顺流48千米(x+4)千米/小时逆流48千米(x-4)千米/小时484x484x230x=220x，解得10x．经检验，10x是所列方程的根．即船在静水中的速度是10千米／时．三、实战训练选择题⒈下列约分正确的是()A、326xxxB、0yxyxC、xxyxyx12D、214222yxxy2、下列各式中，从左到右的变形正确的是()A、yxyxyxyxB、yxyxyxyxC、yxyxyxyxD、yxyxyxyx3、甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（）A.SabB.SavbC.SavabD.2Sab4如果关于x的方程2313xmxm有增根，则的值等于（）A.3B.2C.1D.35、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设一块试验田每亩收获蔬菜xkg，根据题意，可得方程（）A．9001500300xxB．9001500300xxC．9001500300xxD．9001500300xx填空1.当x时，分式x31有意义．2.化简1(1)(1)1mm的结果是.3.化简：（2xx+2-xx-2）÷xx2-4的结果为。4.已知分式235xxxa，当x＝2时，分式无意义，则a＝，当a6时，使分式无意义的x的值共有个．5.当x＝2时，分式11x的值是6.当x时，分式x31有意义．7.当x=时，分式22xx的值为零.8.化简：2222222ababaabbab＝__________________．9.若关于x的分式方程3132xmx有增根，则m=。10解分式方程（3）（4）（5）22416222xxxxx（6）（）11244222xxxx（）22332726xx5511xxxxxx21321xxx1512应用题1、南宁市2006年的污水处理量为10万吨/天，2007年的污水处理量为34万吨/天，2007年平均每天的污水排放量是2006年平均每天污水排放量的1.05倍，若2007年每天的污水处理率比2006年每天的污水处理率提高40%（污水处理率污水处理量污水排放量）．（1）求南宁市2006年、2007年平均每天的污水排放量分别是多少万吨？（结果保留整数）（2）预计我市2010年平均每天的污水排放量比2007年平均每天污水排放量增加20%，按照国家要求“2010年省会城市的污水处理率不低于．．．70%”，那么我市2010年每天污水处理量在2007年每天污水处理量的基础上至少．．还需要增加多少万吨，才能符合国家规定的要求？2、我国“八纵八横”铁路骨干网的第八纵通道——温