高量5--量子数l的升降算符

1由此可证明对体系任意态矢量都成立。0],[RLz§8.3量子数l的升降算符一、升降算符的寻找根据讨论升降算符的经验，若R（不是矢径）是使|lm中l改变1而m保持不变的算符，则可令,,1||mlclmR这样就有lmRLlmRLlmRLzzz|||],[lmRmmlcLz|,1|mlcmmlcm,1|,1|02同理lmRLlmRLlmRL|||],[222mlca,1|2lmRa|2if,2if)1(2lalaRaRLRLz22],[0],[当a=-2l时，lmRlllmRL|)1(|22注意到当a=2(l+1)时，利用上式可得lmRalmRLlmRL|||222lmRllmlRl|)1(2|)1(22lmRll|)2)(1(2即之间满足下列对易关系RLLz,,23lmRlllmRL|)1(|22lmRlllmRL|)2)(1(|22lala2)1(2利用上述本征方程的意义，可以将R|lm写为lamllamllmR2if,,1|)1(2if,,1||可见R对于|lm的作用有关于量子数l上升算符和下降算符的性质。设上升算符记为R，下降算符记为Q，则有QlQLQLRlRLRLzz22222],[,0],[)1(2],[,0],[下面看R,Q到底是什么形式。4与式比较，形式上多了第一项。RlRL22)1(2],[注意方向算符N与L2的对易关系：NiLNiNL22)(22],[另外由式得222],[ALiLAL222],[LNiLNL从这两式可以看出，若取一个矢量NcLNbR选择适当的b,c，有可能使R满足式RlRLRLz22)1(2],[,0],[经过试验发现正好满足上式。NlLNilR)1()(而NlLNilQ)(正好满足QlQLQLz222],[,0],[5比如对分量，因为，则有zQNlLNilQ)(])(,[],[zxyyxzzzlNLNLNiLQL],[],[],[zzxyzyxzNLlLNLiLNLi],[}],[],[{}],[],[{zzxyzxzyyxzyzxNLlLNLLLNiLNLLLNi)(xxyyyyxxLNiLNiLNiLNii00],[zzNL当然可以验证，等不满足上式对易式。所以正是我们要寻找的的量子数的上升和下降算符。xxQR,zzQR,lm|l﹟6二、算符R,Q各分量对|lm的作用估计与升降算符有关。令)()()(),()()(liQlQlQliRlRlRyxyx很容易证明)(2)](,[),()](,[)()1(2)](,[),()](,[2222lQllQLlQlQLlRllRLlRlRLzz例如证明第一式],[)](,[yxzziRRLlRL],[],[yzxzRLiRLxyRiiRi)()(yxiRR)(lR7同我们意料到的一样，分别是l的上升和下降算符，而且分别是m的上升算符，是m的下降算符，可用下述公式表示)(),(lQlR)(),(lQlR)(),(lQlR1,1||)(,1||)(1,1||)(,1||)(mldlmlQmldlmlQmlclmlRmlclmlRzzzz以及前面所得到的公式1,1|)32)(12()2)(1(|mlllmlmllmN1,1|)12)(12()1)((mlllmlml8mlllmlmllmNz,1|)32)(12()1)(1(|mlllmlml,1|)12)(12())((可用计算出R,Q对|lm的作用结果。特别提示：在求R,Q对|lm的作用时，要用到下述已知的公式（1）R,Q的分量表示；（2）以及对|lm的作用公式；yxiLLL（3）以及对|lm的作用公式；yxiNNN9推导过程相对复杂一些，这里只给出结果：mllmlmlllmlRz,1|32)1)(1)(12(|)(mllmlmlllmlQz,1|12))()(12(|)(1,1|32)2)(1)(12(|)(mllmlmlllmlR1,1|12)1)()(12(|)(mllmlmlllmlQ﹟10§8.4球谐函数下面取位置表象，求轨道角动量本征矢量|lm的具体表达式。一、位置表象中轨道角动量算符的表示此时R，即成为相乘算符，321ˆ,ˆ,ˆXXX,ˆiP对有L)cosctg(sinˆˆˆˆˆiPZPYLyzx)sinctgcos(ˆˆˆˆˆiPXPZLzxyiPYPXLxyzˆˆˆˆˆ22222sin1sinsin1ˆL11方向算符N对态函数的作用是一个相乘算符cosˆsinsinˆcossinˆzyxNNN而ieNsinˆ注意：以上这些算符等式，只有左右双方作用在任意态函数上才成立，而且都是对部分作用的,与r无关；方向算符是相乘算符，作用起来很方便。,ctgˆieLi而ctgˆieLi12二、轨道角动量本征函数的计算1.本征函数所满足的基本方程lmYlm|),(轨道角动量本征函数在位置表象中记为),(2zLL所满足的方程可记为),()1(),(sin1sinsin122222lmlmYllY),(),(lmlmYmYi通常方法是解上述微分方程得到。但实际上知道了一个具体的，利用升降算符作用即可得到其它了。),(lmY),(lmY132.本征函数的求解（1）求),(00Y取l=m=0,所满足的方程就写为),(2zLL0),(sin1sinsin100222Y0),(00Y容易看出第二式的通解为)(),(00gY（只对求导）将此式代入第一式得0)(sinsin1g14此方程的通解为21)2ln(tg)(ccg因为在附近有限，必须取),(Y,0.01c所以，即2)(cg200),(cY利用归一化条件1d|),(|dsin202000Y很容易得到41),(200cY15ieYNYsin2341),(ˆ23),(0011利用方向算符可依次得出NˆieYNY221122sin425341),(ˆ45),(ieYNY332233sin64275341),(ˆ67),(illlllellYsin!)!2(!)!12(41)(),(illllellsin)!12(!2141)(16下面举例证明第一式。利用1,1|)32)(12()2)(1(|mlllmlmllmN1,1|)12)(12()1)((mlllmlml有11|3200|ˆN所以00|2311|),(11NY41sin23ieiesin234117与此类似，利用)1(,1|3222,|ˆllllllN可由得出),(00YilllllellYsin)!12(41!21),(,得到了这两个公式之后，只要用依次对作用，或用依次对作用，就可得出l固定的全部。这样lmLˆllYLˆllY,),(lmYllllYLllllYˆ)1)((11,18llYLll,22ˆ21)12(21llYLll,22ˆ!2)!2()!22(1,2,ˆ)2)(1(1llllYLllllYllmlmlmlYLhmllmlYˆ)!()!2()!(,)(sinˆ)!()!(412!21)1(illmlmllleLhmlmlll19类似地，用依次对作用，可得LˆllY,llmlmlmlYLhmllmlY,,ˆ)!()!2()!()(sinˆ)!()!(412!21illmlmlleLhmlmlll利用教材中所证明的公式（这里不再证明）)sincosdd)(sin)(sinˆ)(2)(imlmlmillmlmleeL可把写成两种形式（前面已经用分别得出）),(lmYLˆ20imlllmemlmlllY)!()!(412!2)1(),(lmlm2sincosddsin1imlmllmemlmlllY)!()!(412!2)1(),(lmlm2sincosddsin它们是轨道角动量的共同本征函数的普遍表达式。)ˆ,ˆ(2zLL),(lmY21由于以上两式是从l=0出发得出的，所以式中l只能取零及所有整数，故m也只能取整数，即llllml,1,,0,,1,,3,2,1,0在数学上称为球谐函数，全部球谐函数在单位球面上对于单值有限的任何函数构成完全函数组。),(lmY),,;,,2,1,0(llml),(f前几个球谐函数是224100Ycos4310YieYsin831,1)1cos3(4145220YieYsincos23451,2ieY222,2sin8345﹟232.自旋空间：§8.6自旋和自旋波函数一、自旋空间1.自旋粒子的自旋态是粒子的内禀状态，与经典的“旋”是两个概念。自旋无法用以前全基于位形空间Hilbert空间的矢量来描述，必须另外建立一个描述自旋态的矢量空间，这个空间我们称之为自旋空间。24而以前讨论的抽象的Hilbert空间或函数空间可以称之为位置Hilbert空间或位置空间。完整地描述单粒子态的Hilbert空间是这两者的直积空间。3.自旋角动量算符S：S是个矢量厄米算符，其分量服从角动量的对易关系：kkijkjiSiSS],[通常取作为对易算符的完备组，其共同本征矢量为，即有),(2zSSsm|25smmsmSsmsssmSz|||1(|22其中ssssms,1,,1,;,2,23,1,21,04.自旋量子数的取值自旋与轨道角动量量子数在数值上有不同的特点：（1）非复合粒子自旋量子数s只能取一个值，比如1）电子s=1/2262）在基本稳定的粒子态中，所有的轻子和以外的所有重子s=1/23）s=3/24）介子s=05）光子s=1（2）复合粒子1）粒子基态s=02）氘核基态s=13）Li核基态s=3/2复合粒子自旋量子数有时可以发生变化。27基矢个数确定维数，与自由度要区分开5.自旋空间的维数对于s=0的粒子，完全不用讨论自旋，或者说其自旋空间是一个1D空间，其中只有一个自旋态（s=0,m=0）。对非相对论量子力学的主要对象—电子来说，s=1/2，m只能取两