2.1数列的概念与简单表示法

第二章数列数列的概念与简单表示法64个格子1223344551667788你想得到什么样的赏赐？陛下，赏小人一些麦粒就可以。OK请在第一个格子放1颗麦粒请在第二个格子放2颗麦粒请在第三个格子放4颗麦粒请在第四个格子放8颗麦粒依次类推……456781567812334264个格子你认为国王有能力满足上述要求吗每个格子里的麦粒数都是前一个格子里麦粒数的2倍且共有64格子2213263220212??18446744073709551615三角形数1,3,6,10,.…..正方形数1,4,9,16,……传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：提问：这些数有什么规律吗？上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：633222221，，，，，，，，4131211354321，，，，1，2，3，4……的倒数排列成的一列数：高一（5）班每次考试的名次由小到大排成的一列数：-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：1111，，，，，，，1111无穷多个1排列成的一列数：三角形数：1，3，6，10，···正方形数：1，4，9，16，···633222221，，，，354321，，，，1111，，，，，，，1111共同特点：1.都是一列数；2.都有一定的顺序12345，41，31，211，1，3，6，10，···1，4，9，16，···定义：按一定顺序排列着的一列数称为问1：数列，2，改为13，…，35,2，，…，35331请问：是不是同一数列？问2:数列4改为：-1，1，-1，1……1，-1，1，-1……，请问：是不是同一数列？(数列具有有序性)想一想:数列与集合的区别是什么？（1）数列{an}中是一列数，而集合中的元素不一定是数；（2）数列{an}中的数是有一定次序的，而集合中的元素没有次序；（3）数列{an}中的数可以重复，而集合中的元素不能重复。思考：数列与集合的概念有何区别12345，，，，1111354321，，，，，，，，4131211633222221，，，，1111，，，数列中的每一个数叫做这个数列的项。各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，······，第n项，······数列的分类(1)按项数分：项数有限的数列叫有穷数列项数无限的数列叫无穷数列(2)按项之间的大小关系：递增数列，递减数列，摆动数列，常数列。有穷数列无穷数列有穷数列无穷数列无穷数列递增数列递增数列递减数列摆动数列常数列12345数列的一般形式可以写成：简记为其中，，，，，naaaa321是数nana第1项第2项第3项第n项的第n项与项数之间的关系可以用一个公式来表示，1111-12,,,,,22,12n632,,,,2131n1,,,,23n,,,,3511-n)1-(,,,,,11,,,1,1a2a3anana列的第n项。02121112n)64,(*nNn}{n1{}n)35,(*nNn那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如果数列na12nnan1nannan)1(-na或0nnan1)(*Nn)(*Nn)(*Nn根据数列的前若干项写出的通项公式的形式唯一吗？请举例说明。例1：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：；，，，）（；，，，）（0202241312111注意：①一些数列的通项公式不是唯一的②不是每一个数列都能写出它的通项公式③序号。表示项的位置项，其中中的第数列表示这个；而，，，，数列表示为通项的数列，即表示以nnaaaaaaaaannnnnn}{}{}{321对于数列中的每个序号n,都有唯一的一个数（项）an与之对应.序号n1234……64项an122223……263（自变量）（函数值）数列是一种特殊的函数可以认为：12)(nnnfa数列与函数的关系：从函数的观点看，是的函数。数列的项序号数列可以看作是一个定义域为正整数集（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，,即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。Nnfan例1：设某一数列的通项公式为)1(nnan1234261220高一（2）班考试名次由小到大排成的一列数例22313512335每个序号也都对应着一个数（项）序号项从函数的观点看，是的函数。y=f（x）ann函数值自变量从映射的观点看，数列可以看作是：到的映射数列项序号数列项序号（正整数或它的有限子集）项数列的实质序号项即，数列可以看作是一个定义域为正整数集（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。序号通项公式*N122.544.534567a1a2a3a4a512345xynan通项公式：数列{an}的第n项an与n的关系式数列是一种特殊函数！定义域是N*(或它的有限子集)对于数列中的每个序号n都有唯一的一个数（项）an与之对应.项数n1234……64项an122223……263（自变量n）（函数值an）3.数列与函数数列是一种特殊的函数可以认为：)(nfan1234567891024681012141618200的图象)1(nnan是些孤立点图象做出常数数列：,4,4,4,412345123450图象，，，，做出摆动数列：11-11--1我们好孤单！我们好孤单！例2.下图中的三角形称为谢宾斯基三角形，在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.（1）（2）（3）（4）13nna-=数列用图象表示时的特点——一群孤立的点）（，即倍再加上的前一项的项起每一项等于它，从第的首项如果一个数列1121221}{11naaaannn，，那么12122312aaaa称为递推公式。）（叫做递推法，其中象这样给出数列的方法1121naann个数列的递推公式。那么这个公式就叫做这个公式来表示，项）间的关系可以用一（或前的前一项与它项），且任一项项（或前的第如果已知数列naanannn11}{递推公式也是数列的一种表示方法。项。写出这个数列的前）（，满足：设数列例5.1111}{311naaaannn3581,2,,,2351113.1,1(2),5nnaana例已知写出这个数列的前项.解：∵a1=121111121aa321131122aa431251133aa541381155aa二、新课讲解1.通项公式能够很清楚的表示数列中项数和项的关系;2.由通项公式可以求出数列中的每一项.例1:根据下面数列的通项公式，写出前5项.(1);1nnan(2)(1)nnan12(3)(1)nnan.65,54,43,32,215,4,3,2,125,16,9,4,1例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：。，，，）（；，，，；，，，）（）（020244131211)3(2516942;7,5,3,1112nan2)1(nannann1)1(11)1(1nna（1）（2）1nnannann1na例1根据下面数列的通项公式，写出它的前5项：解：（1）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列的前5项为na.65,54,43,32,21（2）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，那么数列的前5项为na－1，2，－3，4，－5.例2写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；解：此数列的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以通项公式是：12nan（2）;515,414,313,2122222解：此数列的前四项的分母都是序号加1，分子都是分母的平方减去1，所以通项公式是：121112nnnnnan（3）.541,431,321,211解：此数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加上1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式是：11nnann思考题：1、写出下列数列的一个通项公式：（1）1，－1，1，－1；（2）2，0，2，0；（3）9，99，999，9999；（4）0.9，0.99，0.999，0.9999。答案：（1）（2）（3）（4）nnnnnnnnaaaa10111011111观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：128),(,32,16),(,4,2)1(49),(,25,16,9,4),)(2()(,61,51-,41),(,211,-)3(7),(,5,2),(,2,1)4(86413631-71-36⑴an=2n⑵an=n2nann1)1()3(nan)4(本节课学习的主要内容有：1、数列的有关概念2、数列的通项公式；3、数列的实质；4、本节课的能力要求是：(1)会由通项公式求数列的任一项；(2)会用观察法由数列的前几项求数列的通项公式。