4_4菲涅耳半波带

1菲涅耳半波带:菲涅耳圆孔和圆屏衍射（FresnelHalf-waveZone）在衍射屏具有对称性的一些简单情况下，用代数加法或矢量加法代替积分运算，可以十分方便地对衍射现象作定性或半定量的解释。菲涅尔衍射可直接在衍射孔径后方有限距离上进行观察，而无需夫琅禾费那样借助成像透镜。使用菲涅耳—基耳霍伏衍射积分公式计算菲涅耳衍射场十分复杂不易严格求解。2SORr0●PB0B1B3B2r1=r0+λ/2r2=r1+λ/2r3=r2+λ/2一、菲涅耳半波带将波面S分成许多以B0为圆心的环形波带，并使：00rPBPBPB01PBPB12PBPB23…21PBPBKK这样分成的环形波带称为菲涅耳半波带，任何相邻两波带以相反的位相同时到达P点(光程差λ/2）。3二、合振幅的计算用a1、a2、…、ak分别表示各波带在P点的振幅，则：KKkaaaaaaA154321)1(比较a1、a2、…、ak各振幅的大小：设S上的振幅均匀分布即A（Q）为常量，任取第K个半波带：面积ΔSk倾斜因子K（θk）kkkkrsKa)(计算：kkrs由惠—菲原理BkRφρkθkrkhPOB0α··取如图的球冠，其面积)cos1(22RsdRdssin22r0在ΔOPBk中有：)(2)(cos02202rRRrrRRk两边微分)(sin0rRRdrrdkk)(202rRRdrRrdskk代入ds,kr∵可将drk视为相邻两波带间r的差值λ/2，则ds=Δsk∴0rRRrskk结论：Δsk/rk与K无关，对每个半波带都相同。5影响ak的只剩下倾斜因子K（θk）：K↑，θ↑，ak缓慢减少。用如下上下交替的矢量来表示P点处振幅的叠加a1a2a3a4akAka1–a2a3–a4121aka21a1a2a3a4akAkk为奇数时)(211kkaaAk为偶数时)(211kkaaA合成一式)(211kkaaAP点的振幅为第一个波带和最后一个波带所发出次波的振幅相加（减）。6当k为奇数时，则2......)22()22(25433211kkaaaaaaaaA)1(221kkaaA当k为偶数时，则2......)22()22(25433211kkaaaaaaaaA)2(221kkaaA综合（1）、（2）两式，有：2)1(211kkkaaA7对自由空间传播的球面波，波面为无限大，k，ak0，则对于给定轴线上的一点P的振幅为：1210aA即球面波自由传播时，每各球面波上各此波波源在P点产生的合振动等于第一个半波带在P点产生的振动振幅得一半，强度为它的4分之1。21410aI计算圆孔对称轴上光振幅的基本思想把波面微分成若干个环状半波带环状半波带的数目，便可以判定场点的光强和亮暗)(211kkaaA环状半波带的数目为奇数，则场点为亮点；环状半波带的数目为偶数，则为暗点。环状半波带的数目不是整数，则场点的强度介于上述两种情况之间。如何确定园孔波面上的完整菲涅耳半波带数目上来圆孔衍射菲涅尔圆孔衍射菲涅尔圆屏衍射圆屏衍射SPRrk10菲涅耳圆孔衍射··RSOPρkB0r0rkBA▲实验装置▲计算P点的光强首先考虑通过圆孔的K个完整菲涅耳半波带数：K个完整菲涅耳半波带数hrrrhhrrrhrrkkkk020220202202222)(λhBB00rh,20krrkhrkrhrrkkrrk0000220202224422k忽略项在ΔBAP中：11在ΔBAO中：RhhRhRRhRRk22)(222222比较两式：Rhhrkr2200)(200rRkrh0022rRRkrRhkRrkk1102对P点的整半波带个数R→∞（平行光入射）,02rkk0krkK与P在轴上的位置有关。12讨论：▲对P点若S恰好分成K个半波带时：)(211kkaaAK为偶数)(211kkaaA)(211kkaaA最大K为奇数最小▲对P点若S中还含有不完整的半波带时：)(21)(2111kkkaaAaa光强介于最大和最小之间实验证实：确定观察点P，改变ρ，P点的光强发生变化确定圆孔半径ρ，P点在对称轴上移动，光强发生变化13▲若不用光阑（ρk→∞）：ka0ka21aAkp无遮拦的整个波面对P点的光强等于第一个波带在该点的光强的一半。例：mmrRA15000计算：2143mmdsmm211很小1、对P点而言，无遮拦的整个波面光能传播，几乎可认为沿直线OP进行。1ks10ar2、沿OP改变P点的位置时，r0↑，P点的光强越来越小，而不会在1/2（a1+a2）和1/2（a1-a2）之间变化。14▲若对点，圆孔仅够分成一个半波带kpAaA211kpII41▲要发生衍射，光源O的线度要足够小。二、圆屏衍射·OB0PP点的振幅：圆屏遮蔽了个K半波带从K+1个半波带从最后的半波带（a∞→0）在P点叠加，合振幅为：21kaA不管圆屏的位置和大小怎样，圆屏几何影子的中心永远有光（泊松点）。圆屏的面积↓，ak+1↑，到达P点的光愈强。15菲涅耳衍射（圆孔和圆盘）（FresnelDiffraction）一、菲涅耳圆孔衍射将一束光（例激光）投射在一个圆孔上，并在距孔1－2m处放置一接收屏，可观察衍射图样。根据前面的讨论，如果圆孔很小，则从圆孔露出半波带的数量很少，即对圆孔后光强起作用的半波带数量很少，设有k个半波带。16则有ak（）a1，当k为奇数时，1122aaaAkk2221)(41apaI所以P点为亮点当k为偶数时，0221kkaaA0pI所以P点为暗点kBOR0BkhRkrlP0r17由此可见，想知道圆孔衍射场轴线上某点是亮点还是暗点，必须知道圆孔所包含的半波带数目。如图，O点为点光源，光通过光阑上的圆孔，圆孔半径为Rh，S为光通过圆孔时的波面。设圆孔包含有k个整数半波带。hhkRR2022)(hrrRkhk202022hhrrrk由于hr0，则h2可略去)1(202022hrrrRkhkOR0BkBkhRkrl0rshP18又因为2020202)2(rkrrrk)2(0rk(略去)422k)3(2)(222RhhRRRhk由（1）、（2）、（3）式可得0022rRRrkRRhhk)11(02RrRkh)1(202022hrrrRkhk)(200rRrkhOR0BkBkhRkrl0rshP19由上式可见，圆孔包含的半波带的数目和圆孔的半径Rh，圆孔到P点的距离r0，以及入射光波的波长，还有点光源到衍射屏距离R都有关。当Rh、R、一定时，改变r0，即改变光屏的位置，我们可以看到，光屏的中心点会有时明时暗的变化。)11(02RrRkh20二、圆屏衍射当点光源发出的光通过圆屏（盘）衍射时,由于圆屏不透明，被圆屏挡住部分的波面对轴线上p点的光强将没有贡献。如图OP设圆屏遮蔽了开始的k个半波带，从第k+1个半波带开始，其余所有的半波带所发出的次波都能到达P点。这些半波带的次波在P点叠加后振幅为:21kpaA221mkPaaA因m，所以am0214212kppaAI因此当k不是很大时，有即P点的光强近似等于光在自由空间传播时的光强。应该是一个亮点。1aak02124IaAIpp此亮点称为泊松（Possion1781—11840）亮斑。这是几何光学中光的直线传播所不能解释的。1818年在巴黎科学院大会上，菲涅尔提出了次波相干叠加原理，泊松根据由惠更斯—菲涅耳原理导出圆盘轴线上应是亮点。不管圆屏的大小、位置如何，圆屏几何影子的中心都有光到达，即P是始终是亮点。--泊松(S.D.Poisson)亮斑22泊松以此来证明惠更斯—菲涅耳原理是错误的。后来由阿拉果在实验中观察到圆屏衍射轴线上的亮点，证明了惠更斯—菲涅耳原理的正确性。泊松（Poisson1781－1840）法国数学家。1812年当选为巴黎科学院院士。泊松对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献。他一生共发表300多篇论著。阿拉果（Arago1786－1853）法国科学家23讨论Sr0P圆屏的面积↓→N↓→EN+1↑→EP↑：P点变亮；圆屏与光源间或圆屏与光屏间距离变化时，N随之改变，P点的光强也将改变；若圆屏足够小，仅遮蔽中心半波带的一部分，则光可完全绕过它，除在圆屏“影子”的中心有亮点外，光屏上没有任何影子；光屏中心亮斑－泊松斑圆屏衍射图样：以P为中心，在其周围有一组明暗交替的衍射环。24三、波带片从前面的讨论可知，在相对于P点划分的半波带中，奇数序（1、3、5…….）（或偶数序）半波带所发出的次波在P点是同相位的，而奇数序和偶数序半波带所发出的次波在P点是反相的（相差π的奇数倍）。若做一个特殊光阑，使之只允许序数为奇数的半波带或序数为偶数的半波带透光，则P点的振幅为同相位各次波叠加，因此叠加后将会振幅很大。25如图，若只允许序数为奇数的半波带透光，则P点的合振幅为12531kPaaaaAkka12如图，若只允许序数为偶数的半波带透光，则P点的合振幅为kkkPaaaaaA22642此时P点为光强很强的亮点。把这种特殊光阑称为菲涅耳波带片。26由)11(02RrRkh可得krRRrRhk001hRk由上式，可较容易的制作波带片。半波带的宽度是很小的，随着级别k的增大，尤其如此，要在6.3mm的半径内容纳100个半波带，可以想见最外面的一些半波带是非常细密的．所以制作菲涅耳波带片是件根细致的工作，不过在目前的条件下并不困难．我们可见先在白纸上精密地绘制，然后用照相机进行两次拍摄和缩小，就可得到一张平面的菲涅耳波带片．波带片与透镜相比，具有大面积、轻便、可折叠等优点。特别适宜用于远程光通讯、光测距和宇航技术中．27也可以做成方形波带片。它能成一个明亮的十字线。除了按上式可做成同心圆环带的波带片外，还可以做成长条形波带片。这种波带片的特点是能使当在垂直于轴的平面上会聚成一条明亮直线。直线的方向与波带片的直线平行。自由传播波面不受限，轴上场点的振幅为210aAP则它们的振幅之比为20210110aaAAPP光强之比为4002200ppppAAII例题：一块波带片的孔径内有20个半波带，其中第1、3、5、~~~19等10个奇数带露出。第2、4、6、~~~20等10个偶数带遮蔽，试分析轴上场点的光强是自由传播时光强的多少倍？解：波带片在轴上场点的振幅为1193110aaaaAP29计算半波带数目k的公式:kRRrhk20111若令kRfhk2'还可以写成：)11(02RrRkh则有'1110frR和一般的会聚透镜成像公式相似。因此，上式称为波带片的焦距公式。即波带片也有焦距，当R时，有kRrfhk20'30从焦距公式可见，波带片的焦距取决于波带片通光孔的半径Rhk,半波带的数目k，和光波的波长。由于波带片的焦距和光波的波长有关，因此它的色差比一般透镜大的多。在激光出现以前，没有什么实用意义。由于激光的高度相干性（单色性好），使波带片的应用成为现实。目前主要用在激光准直方面。kRrfhk20'31波带片的亮点相当于点光源成的像。当使用单色光入射时，在f/3，f/5，f/7等处也有亮点出现。即波带片有多个焦距，因而，与透镜成像的情况不同。对于给定的物点对应于不同的焦距，波带片可以给出多个像点。波带片与普通透镜相比有自己的优点，例如：长焦距的普通物镜的设计与加工都是相当麻烦的。但不难制作长焦距的