九年级《切线长定理和三角形的内切圆》课件

和三角形的内切圆切线长定理1.切线具有什么特征?]图23.2.8答:【特征1】切线与圆只有一个公共点;【特征2】圆心到切线的距离等于圆的半径;【特征3】圆的切线一定垂直于经过切点的半径．O。PMNPQ1.任意画一个⊙O，在⊙O上任取两点A，B，以A，B为切点分别作⊙O的两条切线，画出的两条切线的位置关系怎样？ABO。。。AB。。O。2.圆的切线是线段、射线、还是直线？O。ABP思考：已知⊙O切线PA，A为切点，连接OP，把圆沿着OP对折,你能发现什么?12探究活动如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B。1、OB是⊙O的一条半径吗？2、PB是⊙O的切线吗？5、利用图形轴对称性解释3、PA、PB有何关系？4、∠APO和∠BPO有何关系？AOPPAOB(1)设与点A重合的点为点B,这里OB是⊙O的一条____,PB是⊙O的一条_____.(2)图中PA与PB、∠APO与∠BPO的关系是(猜想):______________________________________________.半径切线PA=PB∠APO=∠BPO1.如图，过圆外一点有两条直线PA、PB与⊙O相切。在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长。ABPO。切线与切线长的区别与联系：（1）切线是一条与圆相切的直线；（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。2.从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。APO。BPA=PB∠OPA=∠OPB证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点∴OA⊥PA，OB⊥PB即∠OAP=∠OBP=90°∵OA=OB，OP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB∠OPA=∠OPB试用文字语言叙述你所发现的结论PA、PB分别切⊙O于A、BPA=PB∠1=∠2从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。切线长定理APO。B几何语言:反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法。12我们学过的切线，常有五个性质：1、切线和圆只有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径；3、切线垂直于过切点的半径；4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。7、如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点线段是直径。七个APO。BM4.连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.OP垂直平分AB证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点∴PA=PB∠OPA=∠OPB∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线∴OP垂直平分AB切线长定理的基本图形的研究PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP（3）写出图中所有的全等三角形△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP（4）写出图中所有的相似三角形△AOC∽△BOC∽△AOP∽△BOP∽△ACP∽BCP（5）写出图中所有的等腰三角形△ABP△AOB（6）若PA=4、PD=2，求半径OA（2）写出图中与∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC2224(2)rr解得r=3APO。BECD已知：如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A、B为切点。直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C。（2）写出图中所有的全等三角形；（1）写出图中所有的垂直关系；（4）如果PA=4cm，PD=2，求半径OA的长。OA⊥PA，OB⊥PB，OP⊥AB△OAP≌△OBP△OCA≌△OCB△ACP≌△BCP（3）图中有哪些线段相等、弧相等，角相等？四、探索如图23.2.11为一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮？图23.2.11【重点2】三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点．一个三角形的内切圆是惟一的．图23.2.12三、应用举例【例1】如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别切于点D、E、F，∠DOE＝120°，∠EOF＝150°，求△ABC的三个内角的度数.(第1题)(第1题)∵∠DOE＝120°,∠EOF＝150°∴∠DOF=360°-∠DOE-∠EOF=360°-120°-150°=90°【解】∵AB、AC分别切⊙O于点D、F∴∠ADO=∠AFO=90°∴∠A=360°-∠ADO-∠DOF-∠AFO=360°-90°-90°-90°=90°同理∠B=60°,∠C=30°.【例2】△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，且AB＝5厘米，BC＝9厘米，AC＝6厘米，求AD、BE和CF的长.(第2题)596xyyzzx则145xyz解得解:设AD=x,BE=y,CF=z,由切线长性质可知：ＡＤ＝ＡＦ，ＢＤ＝ＢＥ，ＣＥ＝ＣＦ即AD=1厘米,BE=4厘米,CF=5厘米xxyyzz【例3】设△ABC的内切圆的半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积S.图23.2.121112221()21.2ABCAIBBICCIAABrBCrCArrABBCCArlSSSS解:连结IC,则rrrPABO1、填空：已知⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm，经过点P有⊙O的两条切线，则切线长为______cm。这两条切线的夹角为_____度。60练习：2、已知圆外切四边形ABCD中，AB：BC：CD=4：3：2，它的周长为24cm。则AB=，BC=；CD=，DA=。ADOCB8cm6cm4cm6cmABCabcrr=a+b-c2如：直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm则其内切圆的半径为______。4、直角三角形的两直角边分别是a，b则其内切圆的半径为:2cm3、已知：在△ABC中，BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。.5.如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于L，M，N，P。（1）图中有几对相等的线段？ADLMNPOCB（2）由此你能发现什么结论？为什么？∵AB，BC，CD，DA都与⊙O相切，L，M，N，P是切点，∴AL=AP，LB=MB，DN=DP，NC=MC∴AL+LB+DN+NC=AP+MB+DP+MC即AB+CD=AD+BC圆的外切四边形的两组对边的和相等（可做定理用）。PBAO反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。（3）连结圆心和圆外一点（角平分线）（2）连结两切点（等腰三角形）（1）分别连结圆心和切点（直角）1.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。小结：APO。BECD∵PA、PB分别切⊙O于A、B∴PA=PB,∠OPA=∠OPBOP垂直平分AB切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。2.圆的外切四边形的两组对边的和相等作业：习题28.210、11