2016年《南方新课堂・高考总复习》数学(理科) 第七章 第9讲 轨迹与方程

第9讲轨迹与方程1．掌握椭圆的定义、几何图形和标准方程．2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．3．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程．求轨迹方程的常用方法直接法待定系数法定义法相关点法参数法将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程已知所求曲线的类型，求曲线方程．先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，则用定义直接探求动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程1．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________________________．2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是__________．3．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为__________．4．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆C的圆心轨迹为()AA．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆(x－10)2＋y2＝36(y≠0)y2＝8xy2＝8x考点1利用直接法求轨迹方程图7-9-1例1：(人教版选修21P373)如图791，已知点C的坐标是(2,2)，过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B.设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程．解：方法一(直接法)：设点M的坐标为(x0，y0)，则点A的坐标为(2x0,0)，点B的坐标为(0,2y0)，kCA＝22－2x0，kCB＝2－2y02.因为直线CA垂直于直线CB，所以kCA·kCB＝22－2x0×2－2y02＝－1，化简得x0＋y0－2＝0.所以点M的轨迹方程为x＋y－2＝0.方法二(参数法)：若CA⊥x轴，则CB⊥y轴，故A为(2,0)，B为(0,2)，所以M为(1,1)．若CA不垂直x轴，则设直线CA的方程为y－2＝k(x－2)，则点A的坐标为2－2k，0，直线CB的方程为y－2＝－1k(x－2)，则点B的坐标为0，2＋2k.设点M的坐标为(x0，y0)(x0≠1)，有x0＝1－1k，y0＝1＋1k，两式相加，得x0＋y0＝2，即x0＋y0－2＝0(x0≠1)．又(1,1)在直线x0＋y0－2＝0上，所以点M的轨迹方程为x＋y－2＝0.【规律方法】求轨迹的步骤是“建系、设点、列式、化简”,建系的原则是特殊化(把图形放在最特殊的位置上)，这类问题一般需要通过对图形的观察、分析、转化,找出一个关于动点的等量关系.方法三(定义法)：观察图象，显然OM＝AB2＝CM，即点M到点C，O的距离相等，故点M在线段OC的垂直平分线上．又线段OC的垂直平分线过OC中点(1,1)，斜率k＝－1，即y－1＝－(x－1)，化简，得x＋y－2＝0.所以点M的轨迹方程为x＋y－2＝0.x2－y23＝1【互动探究】1．(2013年天津)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为____________．解析：由抛物线y2＝8x，可得p2＝2,故其准线方程为x＝－2.由题意可得双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点为(－2,0)，∴c＝2.又双曲线的离心率为2，∴ca＝2.∴a＝1.∴b2＝c2－a2＝3.∴双曲线的方程为x2－y23＝1.考点2利用定义法求轨迹方程例2：已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.图D27解：如图D27，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，这里a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．【规律方法】本题考查了双曲线的定义,可以利用相同方法解决以下变式：类比1：若动圆M同时与圆C1及圆C2相内切,则动圆圆心M的轨迹方程为x2－28y=1(x≥1)；类比2：若动圆M与圆C1外切及圆C2相内切,则动圆圆心M的轨迹方程为2245xy=1(x≥2)；类比3：若动圆M与圆C1内切及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为2245xy=1(x≤－2).【互动探究】解：设动圆M的半径为r，根据两圆相切的充要条件，得|MC1|＝8－r，|MC2|＝2＋r，所以|MC2|＋|MC1|＝10.这表明动点M到两定点C2，C1的距离之和是常数10.根据椭圆的定义，动点M的轨迹为椭圆，即2a＝10，a＝5.又|C1C2|＝6＝2c，则c＝3，b2＝a2－c2＝16.设点M的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为x225＋y216＝1.2.(由人教版选修21P502改编)已知动圆M与圆C1：(x－3)2＋y2＝64内切，和圆C2：(x＋3)2＋y2＝4外切，求动圆圆心M的轨迹方程考点3利用相关点法求轨迹方程例3：已知点A在圆x2＋y2＝16上移动，点P为连接M(8,0)和点A的线段的中点，求点P的轨迹方程．解：设点P的坐标为(x，y)，A的坐标为(x0，y0)．∵点A在圆x2＋y2＝16上，∴x20＋y20＝16.又∵P为MA的中点，∴x＝8＋x02，y＝0＋y02，得x0＝2x－8，y0＝2y.代入圆的方程，得(2x－8)2＋(2y)2＝16，化简，得(x－4)2＋y2＝4.故点P的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝4.【规律方法】动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线方程得要求的轨迹方程．这种求轨迹方程的方法叫相关点法(也叫转移法)．【互动探究】3．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程．解：设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为x2，y2，线段MN的中点坐标为x0－32，y0＋42.∵平行四边形对角线互相平分，∴x2＝x0－32，y2＝y0＋42，即x0＝x＋3，y0＝y－4.又∵当M，N，O三点共线时，不能作平行四边形，∴MO所在直线的方程为y＝－43x.代入方程x2＋y2＝4，解得x＝±65，∴x0≠±65.∴x≠－215且x≠－95.∵点N(x0，y0)在圆上，故x20＋y20＝1.∴点P的轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4x≠－95且x≠－215.●思想与方法●⊙轨迹方程中的分类讨论解：(1)由题设知，PM，PN的斜率存在且不为0，所以yx＋1·yx－1＝λ，即x2－y2λ＝1(y≠0)．例题：(2014年广东汕头一模，由人教版选修21P8010改编)已知动点P(x，y)与两个定点M(－1,0)，N(1,0)的连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状．(2)讨论如下：①当λ0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；②当－1λ0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴上的两个端点)；③当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆[除去点(－1,0)，(1,0)]；④当λ－1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴上的两个端点)．【互动探究】解：设点M的坐标为(x，y)，则直线AM的斜率kAM＝yx＋5(x≠－5)，同理，直线BM的斜率kBM＝yx－5(x≠5)．由已知，得kAM·kBM＝yx＋5·yx－5＝－49(x≠±5)，化简，得点M的轨迹方程为x225＋y21009＝1(x≠±5)．4.(人教版选修2­1P41­例3)设点A，B的坐标分别为(－5,0)，(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－49，求点M的轨迹方程．5．设点A，B的坐标分别为(－5,0)，(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－1，求点M的轨迹方程．解：设点M的坐标为(x，y)，则直线AM的斜率kAM＝yx＋5(x≠－5)，同理，直线BM的斜率kBM＝yx－5(x≠5)．由已知，得kAM·kBM＝yx＋5·yx－5＝－1(x≠±5)，化简，得点M的轨迹方程为x2＋y2＝25(x≠±5)．6．(人教版选修2­1P55­探究)设点A，B的坐标分别为(－5,0)，(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是49，求点M的轨迹方程．解：设点M的坐标为(x，y)，则直线AM的斜率kAM＝yx＋5(x≠－5)．同理，直线BM的斜率kBM＝yx－5(x≠5)．由已知，得kAM·kBM＝yx＋5·yx－5＝49(x≠±5)，化简，得点M的轨迹方程为x225－y21009＝1(x≠±5)．