2013届新课标高中数学(文)第一轮总复习第2章第5讲 函数的概念及表示方法

函数的概念【例1】已知映射f：A→B，A＝B＝R，对应法则f：x→y＝－x2＋2x.若对于k∈B，在集合A中不存在原象，求k的取值范围．2()()24401.1kBxAxAxxkkkkA该问题是研究，已知象象集，求原象原象集．依题意，，则方程－＋【解＝无实数根．由判别式＝－，得即当时，它在集合中不存析】在原象．关于映射，如果原象集(A)与象集(B)是数集，则可用函数的观点研究．本题实际上是函数y＝x2－2x＋k与x轴没有交点的问题，体现了函数与方程的思想．【变式练习1】已知集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，其中a∈N，k∈N，f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k的值．【解析】(定义法)由对应法则：1→4,2→7,3→10，k→3k＋1，又a∈N，所以a4≠10，所以a2＋3a＝10，解得a＝2(舍去－5)，所以a4＝16，于是3k＋1＝16，所以k＝5.判断两个函数是否相同323212121*21212()()32111(0)||41(0)2nnnnfxxgxxfxxgxxnfxxxgxxxxfxgxxxN－判断下列函数是否表示同一函数：＝，＝；＝，＝；＝，＝－；＝，＝【例】323*21212121221,21()21|1|1||(0123)(0)1(0)1(0)4nnnnfxxxgxxxnnnfxxxgxxxfxxxxgxxxfxxxgxxN－＝＝，＝＝，它们的对应法则不同，故不是同一函数；时，＋－都是奇数，故＝＝，＝＝，它们的三要素都相同，故是同一函数；＝＝－，＝－，它们的对应法则不同，故不是同一函数；因为＝的定义域是－，，＋，＝【解析】R的定义域是，它们的定义域不同，故不是同一函数．判断两个函数是否是同一函数，要分别比较它们的定义域、对应法则和值域，当且仅当它们的三要素都相同时，才表示同一函数，只要三要素中有一个要素不同，则这两个函数就不可能是同一函数．22211121113111(1)4|1|.1(1)fxxgttfxxxgxxxxfxgxxxxxfxgxxxx判断下列各组函数是否为同一函数．＝＋，＝＋；＝，＝；＝，＝＋【变式练习＝2；＝，－】【解析】(1)函数的定义域、值域、对应关系都相同，是同一函数；(2)f(x)的定义域为(－∞，0]∪[1，＋∞)，g(x)的定义域为[1，＋∞)，是不同函数；(3)尽管化简后f(x)＝x＋1，但其定义域为{x|x∈R，且x≠1}，而g(x)的定义域为R，故它们是不同函数；(4)化简后f(x)＝|x－1|＝g(x)，是同一函数．求函数值2112(2000)2011[(6)](2000)sin()(10)2(03).12xfxfnnnfffnnxxfxexffaaN定义在上的函数满足＝，求的值；已知函数＝若＋＝，求的所有【例】可能的值．1122222201120002011[(20116)][(20056)]1999200119951997.110e.1e2110sin1sin1222()21210.22aaffffffffffafaaafaaaakkakaaaZ－－因为，所以＝－＝－＝＝＝＝因为＝，所以，当时，＝故由＋＝，得＝；当－时，＝．故由＋＝，得＝＋．又，所以，当＝时，＝，得＝－解析】故【的21.2所有可能的值是，－在求函数值的训练中，分段函数是极好的工具．求分段函数的值要明白给定的自变量的值在哪一段定义范围内，然后代入这一段函数表达式，并计算出结果．如果给定的自变量是常参数，要注意分段讨论求解．2222(4)1(1)(4)log31212(0)1(()2xxfxfxxfxgxxfgxxxf设＝，则＝_____________设＝－，＝，则＝_________【变式练__习3】____222221log32log3(log31)(log33)2log24.11112.2122411116(124).121165fffgxxxf因为，所以＝＋＝＝＋＝－＝令＝【解，析即－＝，得＝所以】＝＝1.已知a、b为实数，集合M＝{ba，1}，N＝{a,0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b＝1.【解析】由题意可知ba＝0，a＝1，解得a＝1，b＝0，所以a＋b＝1.2.已知函数f(x)＝3xx≤1－xx1，若f(x)＝2，则x＝log32.【解析】由x≤13x＝2⇒x＝log32，x1－x＝2⇒x＝－2无解．21(0)3.0(0)(1)1(0)xfxxfxx若函数＝，则＋＝_____【解析】因为x2＋10，所以f(x2＋1)＝1.14.(2)1155fxxfxffffx函数对于任意实数满足条件＋＝，若＝－，则＝________15(4)[(2)2]111251511(5)(1)3(12)1515(5).5fxfxfxfxfxffffffffff因为＋＝＋＋＝＝＝，所以＝＝－，所以－＝－＝＝＋＝＝－，所以＝－【＝－解析】235.11(1)112lg3lg.xyxyxxyxyx判断下列函数是否表示同一函数：＝－，＝；＝，＝231(1)1[1,1)1[1,1]lg3lg23lg1xyxxyxyxxyx函数＝－的定义域是－，函数＝的定义域是－，它们【解析】的定义域不同，故不是同一函数；＝＝，＝，它们的三要素都相同，故是同一函数．1．理解函数(映射)的概念映射是特殊的对应，判断一个对应是否是映射：①集合A中的每一个元素是否在B中都有对应的元素；②这个对应元素是否是唯一的．象与原象是映射中两个重要的概念，象是集合B中的元素，原象是集合A中的元素．32()ABByxxABfABxAyBAB函数是特殊的映射，判断一个映射是否是函数：给定的集合、是不是非空数集；中的每一个元素是不是都有原象，如＝＋就不是函数．设两个非空数集、，由：所确定的函数，当时，，称函数的定义域，称函数的值域．两个相同的函数必须定义域、值域、对应关系函数三要素完全相同．对于用解析法表示的函数，只要化简表达式后，对应关系相同且定义域相同，就表①②示相同的函数．2．分段函数是一个函数，而不是多个函数，它的定义域是各段自变量的取值范围的并集；值域是各段函数值的取值范围的并集．解答分段函数问题时要灵活运用分类讨论的思想方法．