2013届新课标高中数学(文)第一轮总复习第3章第17讲 数列的概念

数列的概念及通项公式111111248163223,33,333,3333,33333.写出下列各数列的一个通项公式：，，，】，【1，，例1(1)2101(1)23nnnnnaa；＝【解析】已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑：①负号用(－1)n或(－1)n＋1来调节，这是因为n和n＋1奇偶相间；②分式形式的数列，分子、分母分别找通项，要充分借助分子、分母的关系；③对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列与等比数列和其他方法来解决．此类问题虽无固定模式，但也有规律可找，主要靠观察、比较、归纳、转化等方法．5714224210,11,10,11,10,111.写出下列各数列的一个通项公式：，－，，－【变式，；练，习】13(1)10()1.112()nnnnannan＋＝－为正奇数＝为正偶数【解析】由数列的前n项的和Sn，求通项公式【例2】已知数列{an}前n项的和Sn＝3n＋2n＋1，求此数列的通项公式an.1111111162(321)[32(1)1]232.61.2322*nnnnnnnnnaSnaSSnnanannN－－－当＝时，＝＝；当时，＝－＝＋＋－＋－＋＝＋由于不适合此式，所解，析以＝【】已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式an的方法是：首先求出a1，再由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求an.但这样求得的an是从第2项开始的，未必是数列的通项公式，所以必须验证a1是否适合，如果适合，则写成an＝Sn－Sn－1(n∈N*)，否则，只能写成an＝1112,*nnanSSnnN．的形式【变式练习2】已知数列{an}前n项的和为n2＋pn＋1，数列{bn}前n项的和为3n2－2n.若a10＝b10，求数列{an}的通项公式an.221022102*11(1)[(1)(1)1]21(2)19(32)[3(1)2(1)]65(2)55.361235(2)3838(1).235(2,*)nnnnnnanpnnpnnpnapbnnnnnnbanSnnannnaSnannnNN由已知得＝＋＋－－＋－＋＝－＋，则＝＋；＝－－－－－＝－，则＝所以数列的前项和＝＋＋，则＝＋，．由于＝＝不适合上式，所以＝【解析】由简单的递推公式，求通项公式【例3】求下列各数列的通项公式：(1)a1＝2，an＝2·3n－1＋an－1(n≥2)；(2)Sn＝2an＋1.11112213231431123111111123(2)23(2)2323213233(13)2(3333)233.1312112(22nnnnnnnnnnnnnnnnnaanaanaaaaaaaaaanSaaanaSSa－－－－－－－－由＝＋，得－＝，即得－＝，－＝，－＝，，－＝，将以上各式相加，得－＝＋＋＋＋＝＝－当＝时，＝＋＝，解得＝－；当时，＝－＝【解析】＋111111)(21)2221(1)2.nnnnnnnaaaaaaa－－－－－＋＝－，即＝又＝－，所以＝－由递推公式求通项公式，一般要掌握累加法、累乘法、构造新数列的方法、利用通项与前n项和的关系等几种方法．【变式练习3】求下列各数列的通项公式：(1)已知a1＝1，(2n＋1)an＝(2n－3)an－1(n≥2)；(2)a1＝3，an＋1＝2an＋5.1111122(21)(23)23213.21212552(5)582251.22nnnnnnnnnnnnnnnanaananannaaaaaa－＋＋－＋＋由＋＝－，得＝，应用累乘法可以求得＝由＝＋，得＋＝＋，所以＋＝＝，即＝【】－解析1.已知数列{an}的前n项和Sn＝log2n2，则a5＋a6＋a7＋a8＝______.【解析】a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝2.2121212.(3)124______nnnnnnnaaanaaabba－－已知＝＋，＝，＝，＝，则数列的前项之积为18123412323551.88bbbb逐个求得＝，＝，＝，＝，所以【积为解析】11*2033.031()nnnnaaaaanaN＋　已知数列满足＝，＝，则等于_____________3-12345620236203303333.aaaaaaaaa＋因为＝，＝－，＝，＝，＝－，＝，所以此数列的周期为，故＝＝【】＝－解析11344.,,,,22816已知一个数列的前几项为：则它的一个通项公式为　_______________1(1)2nnnna＋＝－11134,,,,22816(1)2nnnna＋【由前几项得解】＝析－5.已知函数f(x)＝x2－5x＋6(x∈N*)，则函数f(x)的最小值为0.【解析】由f(x)＝(x－52)2－14可知当x＝2或x＝3时取得最小值为0.数列的概念命题以填空题居多，主要从四个方面考查：一是理解数列的定义及分类，能用函数的观点认识数列；二是会用通项公式写出数列的任意项，也要会根据给出数列的前几项归纳出数列的一个通项公式；三是会根据递推公式写出数列的前几项，并归纳出数列的通项公式；四是会由数列的前n项和公式求出数列的通项公式．值得注意的是，数列与函数、不等式结合的题目在近几年的高考试卷中频频出现．1．数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的一个非空真子集{1,2,3，…，n})；数列中的项必须是数．2．数列的图象是一系列孤立的点．3．数列的单调性其实是一个恒成立问题，往往可以用来求参数的取值范围．24()1{{21}12{(1)}nnnnnn．根据数列的前几项写出数列的通项公式．要观察、分析给出的数的特征，找出数列的一个构成规律，归纳猜想出通项公式．如果能记住诸如，，，－，，－等一些特殊的数列，对求通项公式是很有帮助的，再学会一些基本的变形就会如虎添翼了．2要注意的是并非所有的通项公式都存在，数列的通项公式也未必唯一．11125()nnnnaafnafna＋．由递推关系求数列的通项公式，方法有二：求出数列的前几项，再猜想出数列的一个通项公式，但做解答题时要用数学归纳法证明所得公式的正确性．将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列的直接用公式求后面再介绍；变成－＝型的用累加法；变成＝型的用累乘法．111162..12nnnnnnnnnnnnnnSfnaSSanaSaSaSSaSa－－．由数列的前项和公式求数列的通项公式，方法有二：已知＝，则用＝－求，但要注意这一条件，且＝已知与的关系式，可用＝－转化为或的递推关系，再求