2017中考数学压轴题及答案精选

1全国中考数学压轴题及答案精选1.（12分）（2013•白银）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．参考答案：考点：二次函数综合题．分析：（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，也就得出了抛物线的解析式．（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可．（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，可先求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积．解答：解：①∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1，∴y=x2﹣3x，②假设存在点B，过点B做BD⊥x轴于点D，∵△AOB的面积等于6，∴AO•BD=6，当0=x2﹣3x，x（x﹣3）=0，解得：x=0或3，∴AO=3，∴BD=4即4=x2﹣3x，解得：x=4或x=﹣1（舍去）．又∵顶点坐标为：（1.5，﹣2.25）．2∵2.25＜4，∴x轴下方不存在B点，∴点B的坐标为：（4，4）；③∵点B的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，BO==4，当∠POB=90°，∴∠POD=45°，设P点横坐标为：﹣x，则纵坐标为：x2﹣3x，即﹣x=x2﹣3x，解得x=2或x=0，∴在抛物线上仅存在一点P（2，﹣2）．∴OP==2，使∠POB=90°，∴△POB的面积为：PO•BO=×4×2=8．点评：本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图象面积求法等知识．利用已知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键．32.（12分）（2013兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，23−），点M是抛物线C2：mmxmxy322−−=（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．参考答案：2.（本小题满分12分）(1)解：令y=0，则0322=−−mmxmx∵m＜0，∴0322=−−xx解得：11−=x，32=x∴A（1−，0）、B（3，0）……………………………2分（2）存在．∵设抛物线C1的表达式为)3(1−+=xxay）（（0≠a），把C（0，23－）代入可得21=a∴Ｃ1：23212−−=xxy…………………………………………………………4分设P（n，23212−−nn）∴S△PBC=S△POC+S△BOP–S△BOC=162723432+−−）（n…………………………………6分∵43−=a0,∴当23=n时,S△PBC最大值为1627．……………………………………7分（3）由C2可知：B（3，0），D（0，m3−），M（1，m4−）BD2=992+m，BM2=4162+m，DM2=12+m，∵∠MBD90°,∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况．第28题图MCBOADxyMCBOADxy4当∠BMD=90°时，BM2+DM2=BD2，4162+m＋12+m=992+m解得：221−=m,222=m(舍去)………………………………………………………9分当∠BDM=90°时，BD2+DM2=BM2，992+m＋12+m=4162+m解得：11−=m，12=m(舍去)……………………………………………………11分综上1−=m，22−=m时，△BDM为直角三角形．…………………………………12分3.（14分）（2013广州）已知抛物线y1=2(0,)axbxcaac++≠≠过点A(1,0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限。（1）使用a、c表示b;（2）判断点B所在象限，并说明理由；（3）若直线y2=2x+m经过点B，且于该抛物线交于另一点C(,8cba+),求当x≥1时y1的取值范围。参考答案：3、（1）bac=−−（2）B在第四象限。理由如下∵121,,cxxaca==≠所以抛物线与x轴有两个交点又因为抛物线不经过第三象限所以0a，且顶点在第四象限（3）∵(,8)cCba+，且在抛物线上，∴80,8,8,bbac+==−+=把B、C两点代入直线解析式易得4ca−=解得6,2ca==画图易知，C在A的右侧，5∴当1x≥时，21424acbya−≥=−4.（9分）（2013深圳福田）如图12，在平面直角坐标系中，圆D与y轴相切于点C(0,4)，与x轴相交于A、B两点，且AB=6.（1）则D点的坐标是（，），圆的半径为；（2）sin∠ACB=；经过C、A、B三点的抛物线的解析式；（3）设抛物线的顶点为F,证明直线FA与圆D相切；（4）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点N，使CBN∆面积最大，最大值是多少，并求出N点坐标.参考答案：4.解：（1）（5，4）------------1分5------------2分（2）sin∠ACB=53，425412+−=xxy--------------4分（3）证明：因为D为圆心，A在圆周上，DA=r=5,故只需证明90DAF∠=°，抛物线顶点坐标：F9(5,)4−,229259154,3()4444DFAF=+==+=，（5分）图12NP6所以22222215625255416490DAAFDFDAF+=+===∴∠=°所以AF切于圆D。（6分）存在点N，使CBN∆面积最小。设N点坐标（a,425412+−aa）,过点N作NP与y轴平行，交BC于点P。可得P点坐标为（a,421+−a）----------------7分∴NP=421+−a-（425412+−aa）=aa2412+−∴S△BCN=S△BPN+S△PCN=21×BO×PN=21×8×（aa2412+−）=16-(a-4)2-----------8分当a=4时，S△BCN最大，最大值为16。此时，N（4，-2）------------9分部分小题方法不一，不同做法可酌情给分，参考如下：（4）、存在点N，做一条与BC平行的直线，平移，当它与抛物线有一个交点时，此时以BC为底的三角形高度最大。抛物线与该直线的交点，就是所求的N点。易求BC的K值为12−，所以设动直线为：12yxd=−+，与抛物线联立：()()222112,240,1544421=-2-44-0,0,4yxdyxxdyxxdd=−+−+−==−+∆×==消去因为有一个交点，所以解得，（1分）所以()21424,2152442yxxNyyxx=−=⇒⇒−=−=−+（1分）N7过N做y轴的平行线，交BC于一点，求此点坐标BC：142yx=−+,令x=4,解得y=2,∴三角形BCN面积的最大值=148=162××（1分）若（3）问用高中点到直线距离公式也给分。5.（2013深圳）如图6-1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线cbxxy++−=221经过C、B两点，与x轴的另一交点为D。（1）点B的坐标为（，），抛物线的表达式为（2）如图6-2，求证：BD//AC（3）如图6-3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长。解析：896.（2013深圳）如图7-1，直线AB过点A（m，0），B（0，n），且20=+nm（其中m0，n0）。（1）m为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？（2）如图7-2，在（1）的条件下，函数)0(=kxky的图像与直线AB相交于C、D两点，若OCDOCASS∆∆=81，求k的值。（3）在（2）的条件下，将△OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图7-3，设它与△OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间（秒）的函数关系式（010）。解析：1011↓↓↓7.（2013广东）有一副直角三角板，在三角板ABC中，°=∠90BAC，AB=AC=6，在三角板DEF中，°=∠90FDE，DF=4，34=DE.将这副直角三角板按如题25图（1）所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动.（1）如题25图（2），当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则=∠EMC度；（2）如题25图（3），当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长;（3）在三角板DEF运动过程中，设xBF=，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围.参考答案：7.（1）15（2）∵△AFC∽△DFE，∴6,,843FCACFCFEDE==∴43FC=（3）解：①当0≤x≤2时，过点M作MN⊥AB于点N，则MN=x233+8441323321)4(2122+++−=+⋅−+×=xxxxxy②当2＜x≤326−时，过点M作MN⊥AB于点N，则MN=x233+184332332162122++−=+⋅−×=xxxy③当326−＜x≤6时，12↓↓3183623)6(3)6(212+−=−×−=xxxxy综上：()≤−+−−≤++−≤≤+++−=)6326(3183623)3262(184332084413222xxxxxxxxy138．（12分）（2013桂林）已知抛物线的顶点为(0,4)且与x轴交于(2,0)−，(2,0).（1）直接写出抛物线解析式；（2）如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛物线的顶点为D，与x轴的交点为A、B，与原抛物线的交点为P①当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时，求此时k的值；②是否存在这样的k值，使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由.[中国教@育出版~%#&网]参考答案：8．（本题满分12分）解：（1）24yx=−+．．．．．．．．．．．．．．．2分（2）连接CE,CD，∵OD是⊙C的切线，∴CE⊥OD．．．．．．．3分在Rt△CDE中，∠CED=90°，CE=AC=2，DC=4，∴∠EDC=30°．．４分∴在Rt△CDO中，∠OCD=90°，CD=4，∠ODC=30°∴433OC=．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分∴当直线OD与以AB为直径的圆相切时，433kOC==．．．．7分(3)设平移k个单位后的抛物线的解析式是2()4yxk=−−+第26题备用图yxBADPO第26题图xyCEODABP14它与24yx=−+交于点P，可得点P的坐标是2(,4)24kk−+．．．．．．．．8分（也可以根据对称性，直接写出点P的横坐标是2k，再求出纵坐标244k−+）方法1：设直线OD的解析式为yax=，把D(,4)k代入，得4yxk=．．．．．．9分若点P2(,4)24kk−+在直线4yxk=上,得24442kkk−+=，解得22k=±，．．．．．．11分∴当22k=时，O、P、D三点在同一条直线上．．．．．．12分方法2：假设O、P、D在同一直线上时；过点D、P分别作DF⊥x轴于F、PG⊥x轴于G,则DF∥PG．．．．．9分∴△OPG∽△ODF，∴OGPGOFDF=．．．．．．．10分∴2kOG=，OFk=，244kPG=−+，4DF=∴