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第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.2应用举例第1课时利用解直角三角形解决实际问题第二十八章锐角三角函数课前预习随堂检测课后提升拓展探究1．通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问题．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．2．利用解直角三角形解决实际问题的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题)．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．第二十八章锐角三角函数课前预习随堂检测课后提升拓展探究知识点一知识点二1．如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝100米，则B点到河岸AD的距离为()A．100米B．503米C.20033米D．50米►知识点一利用解直角三角形测量宽度第二十八章锐角三角函数课前预习随堂检测课后提升拓展探究知识点一知识点二2．如图，沿AB方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AB上的一点C，取∠ACD＝146°，CD＝500m，∠D＝56°.要使点A，C，E在同一条直线上，那么开挖点E离点D的距离是()A．500mB．500sin56°mC．500cos56°mD．500tan56°m第二十八章锐角三角函数课前预习随堂检测课后提升拓展探究知识点一知识点二3．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82米．求AB的长(精确到0.1米)．(参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5)第二十八章锐角三角函数课前预习随堂检测课后提升拓展探究知识点一知识点二解：设AD＝x米，则AC＝(x＋82)米．∵在Rt△ABC中，tan∠BCA＝ABAC，∴AB＝AC·tan∠BCA＝2.5(x＋82)，又∵在Rt△ABD中，tan∠BDA＝ABAD，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴2.5(x＋82)＝4x，解得x＝4103.∴AB＝4x＝4×4103≈546.7(米)．答：AB的长约为546.7米．第二十八章锐角三角函数课前预习随堂检测课后提升拓展探究知识点一知识点二4．课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米，那么旗杆AB的高度约是()A．12米B．83米C．24米D．243米►知识点二利用解直角三角形测量高度第二十八章锐角三角函数课前预习随堂检测课后提升拓展探究知识点一知识点二5．生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当α＝70°时(α为梯子与地面所成的角)，能够使人安全攀爬．如图现在有一长为5.8米的梯子AB，那么能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的高度AC＝______米．(结果精确到0.1米)(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.74)5.5第二十八章锐角三角函数课前预习随堂检测课后提升拓展探究知识点一知识点二6．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h(精确到0.1m)．(参考数据：sin12°＝cos78°≈0.21，sin68°＝cos22°≈0.93，tan68°≈2.48)第二十八章锐角三角函数课前预习随堂检测课后提升拓展探究知识点一知识点二解：如图，过C点作FG⊥AB于F，交DE于G，此时FG即为高度h.∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，∴∠ACF＝∠FCD－∠ACD＝∠CGD＋∠CDE－∠ACD＝90°＋12°－80°＝22°，∴∠CAF＝68°，又∵在Rt△ACF中，CF＝AC·sin∠CAF≈0.744m，在Rt△CDG中，CG＝CD·sin∠CDE≈0.336m，∴FG＝FC＋CG≈1.1m．故跑步机手柄的一端A的高度约为1.1m.第二十八章锐角三角函数课前预习随堂检测课后提升选择题填空题解答题拓展探究1．如图，AC是电杆的一根拉线，测得BC＝4米，∠ACB＝60°，则AB的长为()A．8米B．43米C．6米D．23米一、选择题第二十八章锐角三角函数课前预习随堂检测课后提升选择题填空题解答题拓展探究2．如图，测量河宽AB(假设河的两岸平行)，在C点测得∠ACB＝30°，D点测得∠ADB＝60°，又CD＝60m，则河宽AB为()A．30mB．60mC．303mD．603m第二十八章锐角三角函数课前预习随堂检测课后提升选择题填空题解答题拓展探究3．如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°.已知滑梯AB的长为3m，点D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是()A．22mB．23mC．32mD．33m第二十八章锐角三角函数课前预习随堂检测课后提升选择题填空题解答题拓展探究4．在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD.如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为()A．(43＋1.6)mB．(123＋1.6)mC．(42＋1.6)mD．43m第二十八章锐角三角函数课前预习随堂检测课后提升选择题填空题解答题拓展探究5．如图所示，李鑫老师利用国庆假日在某钓鱼场钓鱼，风平浪静时，鱼漂露出水面部分AB＝6cm，微风吹来时，假设铅锤P不动，鱼漂移动了一段距离BC，且顶端恰好与水面平齐(即PA＝PC)，水平线l与OC夹角a＝8°(点A在OC上)，则铅锤P处的水深h为(参考数据：sin8°≈210，cos8°≈7210，tan8°≈17)()A．150cmB．144cmC．111cmD．105cm第二十八章锐角三角函数课前预习随堂检测课后提升选择题填空题解答题拓展探究二、填空题6．如图是一款可折叠的木制宝宝画板．已知AB＝AC＝67cm，BC＝30cm，则∠ABC的大小约为_______(结果保留到1°)．77°第二十八章锐角三角函数课前预习随堂检测课后提升选择题填空题解答题拓展探究7．如图所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．(结果保留根号)8．如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度约为______米．103100第二十八章锐角三角函数课前预习随堂检测课后提升选择题填空题解答题拓展探究三、解答题9．(2015·张家界)如图1是“东方之星”救援打捞现场图，小红据此构造出一个如图2所示的数学模型，已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A＝30°，∠CBD＝75°，AB＝60m.(1)求点B到AC的距离；(2)求线段CD的长度．第二十八章锐角三角函数课前预习随堂检测课后提升选择题填空题解答题拓展探究解：(1)如图，过点B作BE⊥AC于点E，则BE即为点B到AC的距离．∵在Rt△AEB中，AB＝60m，sinA＝BEAB，cosA＝AEAB，∴BE＝60×12＝30m；第二十八章锐角三角函数课前预习随堂检测课后提升选择题填空题解答题拓展探究(2)由(1)可知AE＝60×32＝303m，又∵在Rt△CEB中，∠ACB＝∠CBD－∠A＝75°－30°＝45°，∴BE＝CE＝30m，∴AC＝AE＋CE＝(30＋303)m，又∵在Rt△ADC中，sinA＝CDAC，∴CD＝(30＋303)×12＝(15＋153)m.第二十八章锐角三角函数课前预习随堂检测课后提升拓展探究图1为一种平板电脑保护套的支架效果图，AM固定于平板电脑背面，与可活动的MB、CB部分组成支架．平板电脑的下端N保持在保护套CB上．不考虑拐角处的弧度及平板电脑和保护套的厚度，绘制成图2.其中AN表示平板电脑，M为AN上的定点，AN＝CB＝20cm，AM＝8cm，MB＝MN.我们把∠ANB叫做倾斜角．(1)当倾斜角为45°时，求CN的长；(2)按设计要求，倾斜角能小于30°吗？请说明理由．第二十八章锐角三角函数课前预习随堂检测课后提升拓展探究解：(1)当∠ANB＝45°时，∵MB＝MN，∴∠B＝∠ANB＝45°，∴∠NMB＝180°－∠ANB－∠B＝90°.∵在Rt△NMB中，sin∠B＝MNBN，∴BN＝MNsin∠B＝AN－AMsin∠B＝122cm，∴CN＝CB－BN＝AN－BN＝(20－122)cm.第二十八章锐角三角函数课前预习随堂检测课后提升拓展探究(2)倾斜角不能小于30°.理由如下：当∠ANB＝30°时，作ME⊥CB，垂足为E，如图所示．∵MB＝MN，∴∠B＝∠ANB＝30°.∵在Rt△BEM中，cos∠B＝EBMB，∴BE＝MB·cos∠B＝(AN－AM)cos∠B＝63cm.∵MB＝MN，ME⊥CB，∴BN＝2BE＝123cm.∵CB＝AN＝20cm，且123＞20，∴此时N不在CB边上，与题目条件不符．随着∠ANB度数的减小，BN长度在增加，∴倾斜角不可以小于30°.制作者：大舍文化适用对象：初三学生制作软件：Powerpoint2003、Photoshopcs3运行环境：WindowsXP以上操作系统