1.3.4利用函数的单调性证明不等式

1.3.4利用函数的单调性证明不等式1.利用函数的单调性，证明下列不等式:sin,(0,)xxx20,(0,1)xxx1,0xexxln,0xxxex例题（课本第32页习题1.3B组第1题）（2）（1）（3）（4）证明：设f(x)＝x－sinx，则f′(x)＝1－cosx0∴f(x)＝x－sinx是增函数∴f(x)f(0)＝0∴f(x)0即x－sinx0即xsinx．方法：移项作差，构造函数，然后用导数证明该函数的单调性；再利自变量越大，函数值越大（或小），来证明不等式成立.利用函数的单调性，证明下列不等式:ln,0xxxex（4）x1()1fxx(1,)当x变化时,的变化情况如下表:(),()fxfx极大值()fx()fx-0+↘(0,1)1解:令,解得x=1.()lnfxxx设()0fx由上表得max()(1)10fxfmax()()0fxfxln.xx即↗1.利用函数的单调性，证明下列不等式:sin,(0,)xxx20,(0,1)xxx1,0xexxln,0xxxex例题（课本第32页习题1.3B组第1题）（2）（1）（3）（4）1、构造函数()()()fxgxhx3、不等式得证.()()gxhx求证一般步骤：xD2、判断的单调性或求最值()fxmax()()0fxfxmax()()0fxfx或法一：用不等式两边“作差”构造辅助函数()()gxhx1、变式构造函数2、若能证成立；则成立.maxmin()()gxhx()()gxhx法二：变形不等式，转换为求两个函数的最值例题：求证()()gxhx1、变式构造函数2、若能证成立；则成立.maxmin()()gxhx()()gxhx法二：变形不等式，转换为求两个函数的最值已知函数，2()lnxfxaxxe(0a且为常数）求证：方程没有实数根.()0fx例题：求证