1.3.4利用函数的单调性证明不等式

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1.3.4利用函数的单调性证明不等式1.利用函数的单调性,证明下列不等式:sin,(0,)xxx20,(0,1)xxx1,0xexxln,0xxxex例题(课本第32页习题1.3B组第1题)(2)(1)(3)(4)证明:设f(x)=x-sinx,则f′(x)=1-cosx0∴f(x)=x-sinx是增函数∴f(x)f(0)=0∴f(x)0即x-sinx0即xsinx.方法:移项作差,构造函数,然后用导数证明该函数的单调性;再利自变量越大,函数值越大(或小),来证明不等式成立.利用函数的单调性,证明下列不等式:ln,0xxxex(4)x1()1fxx(1,)当x变化时,的变化情况如下表:(),()fxfx极大值()fx()fx-0+↘(0,1)1解:令,解得x=1.()lnfxxx设()0fx由上表得max()(1)10fxfmax()()0fxfxln.xx即↗1.利用函数的单调性,证明下列不等式:sin,(0,)xxx20,(0,1)xxx1,0xexxln,0xxxex例题(课本第32页习题1.3B组第1题)(2)(1)(3)(4)1、构造函数()()()fxgxhx3、不等式得证.()()gxhx求证一般步骤:xD2、判断的单调性或求最值()fxmax()()0fxfxmax()()0fxfx或法一:用不等式两边“作差”构造辅助函数()()gxhx1、变式构造函数2、若能证成立;则成立.maxmin()()gxhx()()gxhx法二:变形不等式,转换为求两个函数的最值例题:求证()()gxhx1、变式构造函数2、若能证成立;则成立.maxmin()()gxhx()()gxhx法二:变形不等式,转换为求两个函数的最值已知函数,2()lnxfxaxxe(0a且为常数)求证:方程没有实数根.()0fx例题:求证

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