应用函数单调性证明不等式(魏立国)

应用函数单调性证明不等式魏立国内容摘要：应用函数单调性证明不等式。一、利用函数单调性的性质证明不等式性质：若函数f(x)在区间D上是增函数（减函数），则对任意xi∈D，（i=1,2,…n），恒有1111()()0(0)nnniiiiiiixfxxfxn。二、利用函数单调性证明不等式。不等式的证明，一直是中学数学的难点，基本上每年高考和竞赛的压轴题都与不等式有关，而人们常常关注比较法、分析法、综合法、数学归纳法、放缩法等，很少人关注用函数的单调性证题，其实有些不等式的证明，如果使用函数的单调性，很容易证得，现举例如下。一、利用函数单调性的性质证明不等式性质：若函数f(x)在区间D上是增函数（减函数），则对任意xi∈D，（i=1,2,…n），恒有1111()()0(0)nnniiiiiiixfxxfxn仅证增函数情况，若f(x)在区间D上是增函数，则对任意21xx，恒有2121()()()0,xxfxfx即对任意xi∈D，（i=1,2,…n），恒有11()0,nniiiiiixxxfxfnn也就是1111()()0nnnniiiiiiiiiiiixxxxxfxxfffxnnnn∴11111()()0nnnniiiiniiiiiiiiixxxxxfxxfffxnnnn∴1111()()0nnniiiiiiixfxxfxn减函数情况同理可证。例1，设a、b、c∈R+，求证：2222abcabcbccaab（第2届友谊杯国际数学邀请赛试题）。分析：左边=,abcabcabcaabcbabcc可构造函数()xfxsx，利用性质即证证明：构造函数()xfxsx，其中s=a+b+c,x∈(0,s)由/2()0()sfxsx，所以f(x)在x∈(0,s)上是增函数，由性质可知，()()()()()()32()2()2()()()()()()()abcafabfbcfcfafbfcafabfbcfcbcfaacfbbafc即2222222(),.2abcabcabcabcbccacbbccaab即例2，设a、b、c为正实数，且abc=1求证：3331113()()()2abcbcacab（第36届IMO）。分析：由abc=1，原不等式可化为222()()()32bccaababcabcabcabc，由例1可知222()()()2bccaabbccaababcabcabcabc，又333bccaabbccaab，显然即证。说明：其实例1第二届友谊杯国际数学邀请赛试题与例2第36届IMO试题本质上一样，例1更具有一般性。例3，若ai∈R+,i=1,2,…,n,n、k均为大于1的自然数，则111()nnkkiiiianan证明：设1/2()(0),()(1)0,kkfxxxfxkx即f(x)在R+是增函数，由性质可知，1111111()()nniinnnnkkiiiiiiiiiiiaaafaafaann，重复放缩即得。1111kknniinnkoiiiiiiaaaannn即证。二、利用函数单调性证明不等式例4，求证：7111111...(2)12234212nnn分析：左边常数，只有看右边最小值是否是712，若令111111...234212nann，如能证明na递增，2a7最小，它就是12证明：右边111111...234212nn11111......2312nnn１111111111(1...)...,...23122122nannnnnnn令则1111111111...,02322121222221nnnaaannnnnnnn∴na递增数列，∴21173412naa∴7111111...(2)12234212nnn例5，设函数y=f(x)定义域为R，当x0时，有f(x)1，且对任意x、y∈R，有f(x+y)=f(x)f(y),解不等式1()(1)fxfx。分析：本题是一个抽象函数，显然根据1()(1)fxfx，求不等式解集，必然与单调性有关。0()(0)(),()1(0)0,0()1(0)1,0()()(0)1,()()00xfxffxfxfxfxfxfxfxffxfxxxxxfxfxfxfxfxfxf证明：当时，由时可知当时，即同号，又时，、中必有一个为正，当时，()、(-)必有一个为正，又()(-)0,()0,(-)0,又(0)=102121211121111211212121,()0,()()()()()()()()()1,()00()10()()()xRfxxxfxfxfxxxfxfxxfxfxfxfxxfxxxfxxfxfxfxR任意设则且时，在上是增函数，又当1()(1)fxfx时,即()(1)1,(21)(0)fxfxfxf也就是又f(x)在R上是增函数，∴2x+1≤0∴12x，即得不等式解集为1|2xx说明：例4、例5通过作差判断单调性来解题例6，求证：311(11)(1)...(1)31(*)432nnNn证明：13333323313323231111(11)(1)...(1)(11)(1)...(1)432431,3134(32)1312754368(1)13134(34)(31)2754274nnnnnnnaannnannnnannnnnnna令则递增数列又31321111(11)(1)...(1)31(*)4324naannNn例7，设x、y、z是正实数，且xyz=1,证明4343433331(1)(1)(1)4xxyyzzxyz证明：设4331()(1)()()()04fxtttfxfyfz原不等式等价于成立由221()(1)(431)(1),()(431)(1)4ftttttgtttt设则(1)((),4tftgt）当t0时，/()0()gtgt在(0,)严格递增，假设xyz则3()()(),1,1,1(1)()(1)(),(1)()(1)()1111(1)()(1)()(1)()111()44441113330,()0(1)()(1)()(1)()0444gxgygzxyzxzxgxxgyzgyzgzxgxygyzgzxyzgyxyzxyzgyxgxygyzgz又则又原不等式成立本文发表于《中学数学研究》2007年第五期