古诺均衡及其扩展

1古诺均衡及其拓展假设市场反需求函数为()pQaQ，企业的生产成本为()CQcQ，求：（1）完全垄断市场结构下的均衡产量、价格和利润；（2）完全竞争结构下的均衡产量、价格和利润；（3）双寡头结构下的古诺均衡的产量、价格和利润；（4）n家同质企业结构下的古诺竞争的产量、价格和利润，并证明这一结果包含了上述三种情形下的结果。（5）双寡头勾结下的产量、价格和利润；（6）如果双寡头中有一方遵守配额协议，另一方违反协议时，各自的产量、价格和利润；（7）比较（3）（6）的结果证明古诺均衡是一个纳什均衡，而勾结的配额是不稳定的；（8）求双寡头产量竞争在重复博弈结构下，选择合作的条件是什么？（9）求n家企业产量竞争在重复博弈结构下，选择合作的条件是什么？比较结果（8）（9），你会得出什么结论。（10）求双寡头在序贯行动情形下的stackelberg均衡解。并与古诺竞争均衡解对比，说明first-moveradvantages，并通过反应函数图来解释这两个均衡。2（1）完全垄断结构下，只有一家企业，()()QMaxpQQCQ，利润最大化的一阶条件为：2aQc2MacQ2Macp24Mac（2）完全竞争结构下，有n家相同企业，总需求函数1()NiipQaQaq，每一家的边际成本为c，而且完全竞争情形下价格是给定的（price-taker），对一家企业来说，边际收益就是p，根据利润最大化的条件MR=MC，这时最优的价格pc带入总需求函数()pQaQ，可以得到Qac根据对称性假设，每家企业的均衡产量为iacqn每一家的利润0i（3）双寡头结构下，12()()pQaQaqq，边际成本都为c。企业1的利润函数为1111211()(())pQqcqaqqqcq31111()qMaxpQqcq利润最大化的条件为212acqq容易看出，这一结果表明，企业1的最优产量取决于企业2的产量，这也正是博弈论中战略依存（strategic-interdependence）这一核心理念的反映。我们把这一结果称为企业1的反应函数。同样道理，我们可以得出企业2的反应函数为122acqq若存在一个战略组合（1cq，2cq）同时满足这两个反应函数，则这个博弈存在一个古诺-纳什均衡解(Cournot-NashEquilibrium)，容易得出123ccacqq3cacp2129ccac(4)n家企业结构下，总需求函数1()NiipQaQaq，每一家的边际成本为c。企业1的利润函数为111111()Niipqcqaqqcq利润最大化的一阶条件为212Niiacqq这就是企业1的反应函数。根据对称性假设，每一家企业存在一个类似的反应函数。如果存在一个纳什均衡的战略组合，那么,1,...,,...,1ciacqiiNn1ancpn42(),1,...,,...,1ciaciiNn当n分别等于1、2时，这一结果等同于垄断和双寡头的结果，当n时，limlim01cinnacqnlimlim1nnancpcn2limlim()01cinnacn这一结果和完全竞争情形下结果相同。由此可见，古诺竞争模型是刻画市场竞争模型的更加一般的方法。（5）双寡头勾结情形下（串谋、卡特尔），相当于两家企业像一家独占企业一样行事，分配垄断产出配额和利润，维持垄断价格，所以1124McollusioncollusionQacqq2collusionMacpp21228Mcollusioncollusionac（6）假设企业遵守卡特尔协议，则224McollusionQacq而企业1则把企业2这一产量看作给定，去生产自己利润最大化的产量，那么企业1在背叛情形下的利润最大化为1111211()betraycollusionpqcqaqqqcq13()8betrayacq可以看出，这一产量大于遵守勾结协议下的产量，而总产量的增加必然会导致均衡价格低于垄断价格，容易知道358betrayacp8betraycollusioncapp因为市场存在的前提是保留价格大于边际成本，所以上式小于0。5219()64betrayac而此时企业2的利润会因为均衡价格的下降而减少，所以被欺骗的的企业2的产出和利润为2224MfooledcollusionQacqq223()32fooledac比较得，22222113()9()322864Mfooledcollusioncollusionbetrayacacac（7）利用双寡头古诺竞争、勾结和背叛情形下的结构构造一个NormalForm的博弈框架如下F2CollusionBetrayF1Collusion1collusion2collusion28ac28ac1fooled2betray23()32ac29()64acBetray1betray2fooled29()64ac23()32ac1cournot2cournot29ac29ac假如两家企业都假设对方遵守协议的情况下会背叛，而且这是一个commonknowledge，那么双方的均衡就是古诺均衡。可以看出，（Betray，Betray）的古诺竞争均衡是这个博弈的纳什均衡，而（Collusion，Collusion）不是纳什均衡的结果。这个均衡说明给定对方遵守协议的情形下，每个企业都有背叛的积极性。这也就是现实中卡特尔协议难以稳定6存在的原因。从反应函数图上看，古诺产量组合（3ca，3ca）是纳什均衡，而产量组合（4ca，4ca）不构成纳什均衡，因为给定企业1生产4ca，企业2的反应函数表明他的最优产量是大于4ca的。从EvolutionaryGame的角度看，古诺均衡的产出是在博弈双方头脑中理性计算多次互动后产生的。就是首先给定企业生产一个任意产量11q，企业2会把这一产量带入自己的反应函数，寻找自己的最优产出)(1112qq,依次类推，收敛于（3ca，3ca）。这就是古诺-纳什均衡在动态意义是价值。这说明，即使初始的产量决策没有完全的理性，但是通过多次的互动、学习、适应调整，古诺均衡产量一定会出现。q1q24ca3ca2ca)(21qq)(12qq7（8）在双寡头重复博弈的架构下，假设企业1有一个触发战略（TriggerStrategies，或称冷酷战略，GrimStrategies）：a，开始阶段选择勾结产量（也即选择合作）；b,选择勾结产量直到企业2选择了古诺产量，然后永远选择古诺产量。本质上这个触发战略是个战略承诺。通俗的说，就是企业1会一开始会选择合作，直到对方出现不合作的行为，然后选择永远不合作。我们来分析在这一条件下，企业2的战略选择。如果选择与企业1合作，则每一期生产古诺均衡的产出4ca，获得利润28ac，设时间贴现因子，则合作的长期收益为：222(1...)88(1)nacac而如果选择不合作，则第一期获得利润29()64ac，由于企业采取触发战略，企业2从第二期开始各期利润为29ac。不合作的长期收益为：222229()9()(...)6496491nacacacac企业2选择合作的条件是合作长期收益大于不合作的长期受益，即q1q23ca11q12q21q)(12qq)(21qq82229()8(1)6491acacac解不等式得：179。那么这一条件的含义是什么呢？我们来考虑贴现因子的经济学含义。贴现因子时间偏绿或者时间偏好程度的表达，反应了人们在当前和未来之间的财富替代程度，或者按照费雪的说法，反映了人们的不耐（impatient）程度。在数量上，r11，r为利息率。对于一个普通人来说，如果他愿意接受6%的利息率而把钱存入银行，那么他的贴现因子就是94.0%611，所以从现实中的利息率的变动范围来看，正常人的不耐程度都是比较大的。所以179是个很容易满足的条件。这也说明了，在正常的时间眼界条件下，合作在两个人长期博弈中是容易达成的。（9）当上述合作结构不仅限于2家，而是在n家企业之间展开博弈时，合作的条件是什么呢？我们来看企业的1的决策行为。假定其他n-1家企业都坚持触发战略，那么企业选择合作的每一期产量为ncanQM2利润为ncanM4)(2，长期利润为：222(1...)44(1)nacacnn背叛情形下的产量和利润。假定其他n-1家企业分别生产合作的产量ncanQM2，那么企业1的最优产量为1111111)2)1(()(1qcqncanaqcqaqcqpMaxNiiq利润最大化的产出为ncanq4))(1(1，此时的市场价格为ncancnap43，企业1的利润为22216)()1(ncan。而此后其他企业选择触发战略，企业从第2期开始选择古诺均衡的产量1acn，获得利润22(1)acn9选择背叛的长期利润为：22222222222(1)()(1)()(...)16(1)16(1)1nacacnacnacnnnn所以选择合作的条件为：22222(1)()4(1)16(1)1acacnacnnn解得：22212222(1)(1)1616()1(1)1(1)()16(1)nnnnnnnnn容易知，当n时，趋近于1，所以n家企业合作的条件随着企业数目的增加而变得越来越严峻，或者说越来越难以满足。总结上述结论，可以看出，合作的达成受到两个方面因素的影响：1.时间眼界，越有耐心合作越容易达成；2.参与博弈的人数。人数越多，合作越困难。（10）序贯行动的博弈和Stackelberg均衡解。假如博弈的顺序不是simultaneousmove，而是sequentialmove：企业1首先选择产量，然后企业2根据企业1的产量选择自己的最优产量。在这个博弈结构下，我们看到，企业2的决策受到了企业1决策的影响。我们用backwardinduction方法来求解。在第二阶段企业2的最优决策：22221222()()qMaxpQqcqaqqqcq利润最大化的条件为：122acqq在第一阶段，企业1在明确企业2的反应函数（也就是战略）情形下做出自己的最优决策：11111211()()qMaxpQqcqaqqqcq10s.t.122acqq解得：12sacq24sacq34sacp，218sac，2216sac与古诺均衡利润2129ccac相比，企业1获得更多利润，而企业2所获利润减少。可以看出，通过率先采取行动，可以获得First-moverAdvantages，这就是战略承诺（strategiccommitment）或威慑（deterrence）的价值。战略承诺有以下的表现形式：a.率先主动采取行动，先发制人，压缩对方的战略选择空间，使得对手选择退让，避免正面冲突导致两败俱伤大规模投资，造成沉没成本sunkcostb.事先发出声明；c.长期明确坚持某一原则。如不承诺放弃武力，（不）承诺不首先使用核武器，不与恐怖分子谈判；q1q24ca3ca2ca)(12qq3caCournot-NashEqilibriumStackelbergEqulibrium)(21qq11Leader-Follow