人教版九年级上册数学24.4.1弧长和扇形面积

24.4弧长和扇形面积第二十四章圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时弧长和扇形面积学习目标1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点）2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.（重点）导入新课图片欣赏问题1如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？问题2怎样来计算弯道的“展直长度”？因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.导入新课情境引入讲授新课与弧长相关的计算一问题1半径为R的圆,周长是多少？ORC=2R问题2下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?OR180°OR90°OR45°ORn°合作探究(1)圆心角是180°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的__________.180360(2)圆心角是90°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的__________.90360(3)圆心角是45°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的__________.45360(4)圆心角是n°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的__________.360n1803609036045360360n用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.注意算一算已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为____.432360180nnRlR知识要点弧长公式例1制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)解：由弧长公式，可得弧AB的长1009005001570(mm),180l因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.答：管道的展直长度为2970mm．100°ACBDO·OA解：设半径OA绕轴心O逆时针方向旋转的度数为n°.解得n≈90°因此，滑轮旋转的角度约为90°.15.7,180nR一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动，取3.14）？练一练圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.OBA圆心角弧OBA扇形与扇形面积相关的计算二概念学习下列图形是扇形吗？判一判√×××√合作探究问题1半径为r的圆,面积是多少？Or2S=r问题2下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?圆心角占周角的比例扇形面积占圆面积的比例扇形的面积21360180813604536045360180903609036014=r212pr214pr218Or180°Or90°Or45°Orn°360n360n2360nr扇形面积公式半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.注意2=360nrS扇形知识要点___大小不变时，对应的扇形面积与__有关，___越长，面积越大.圆心角半径半径圆的不变时，扇形面积与有关，越大，面积越大.圆心角半径圆心角总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.O●ABDCEFO●ABCD问题扇形的面积与哪些因素有关？问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？想一想扇形的面积公式与什么公式类似？11180221802nrrnrSrlr扇形ABOO类比学习180nrl2=360nrS扇形例3如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）解：∵n=60，r=10cm，∴扇形的面积为=2+180nrlr26010=36050=3252.36(cm).扇形的周长为2=180nrS6010=20+18010=20+330.47(cm).1.已知半径为2cm的扇形，其弧长为，则这个扇形的面积S扇=．432.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇=.24cm343试一试例4如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）(1)O.BAC讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？阴影部分.O.BACD(2)O.BACD(3)(2)水面高0.3m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？线段DC.过点O作OD垂直符号于AB并长交圆O于C.(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？阴影部分面积=扇形OAB的面积-△OAB的面积解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C,连接AC.∵OC＝0.6,DC＝0.3,∴OD＝OC-DC＝0.3，∴OD＝DC.又AD⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线，∴AC＝AO＝OC.从而∠AOD＝60˚,∠AOB=120˚.O.BACD(3)有水部分的面积：S＝S扇形OAB-SΔOAB22120π10.6360210.12π0.630.320.22(m)ABODOBACD(3)OO弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积•S弓形=S扇形-S三角形•S弓形=S扇形+S三角形知识要点弓形的面积公式2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为（）A.B．C.D.1.已知弧所对的圆周角为90°,半径是4,则弧长为.当堂练习7733847338433C2ABCOHC1A1H1O13.如图，☉A、☉B、☉C、☉D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是.212cmABCD解析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为，圆心角为90°的扇形弧长之和，即4.如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．3312029033243(43).180180l(43)5.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.OABDCE22=24010.60.30.6336020.240.0930.91cm.OABSS△弓形扇形S解：6.如图，一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少.ABA'B'C解由图可知，由于∠A'CB'=60°，则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA'=120°，这说明顶点A经过的路程长等于弧AA'的长.∵等边三角形ABC的边长为10cm，∴弧AA'所在圆的半径为10cm.∴l弧AA'1201020(cm).1803答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为20cm.3课堂小结弧长计算公式：180nRl扇形定义公式2360nRS扇形112SCR扇形阴影部分面积求法：整体思想弓形公式S弓形=S扇形-S三角形S弓形=S扇形+S三角形割补法