第1课时 空间向量与平行关系

3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系平面向量空间向量推广到向量渐渐成为重要工具从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.引入1、立体几何问题(研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形),,pabpxayabxyb向量与向量共如果两个向量不共线，则面的充要条件＝是存在实数对，，使＋。共线向量定理:引入2、复习共面向量定理:对空间任意两个向量,（），的充要条件是存在实数，使＝。//aabbbab0引入3、思考1.如何确定一个点在空间的位置？2.在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？3.给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？4.给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？1．了解如何用向量把空间的点、直线、平面表示出来.（重点）2．理解并掌握用向量方法解决立体几何问题.（重点）3．掌握把立体几何问题转化为向量问题．（难点）在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP来表示，我们把向量OP称为点P的位置向量.怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？OP⑴点探究点1点,直线，平面的位置向量⑵直线aABP空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定.对于直线l上的任一点P,存在实数t使得aABP空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定.,APtAB此方程称为直线的向量参数方程.OP=OA+ta或OP=xOA+yOB(x+y=1）.⑶平面POba空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定.PbaOOPxayb空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定.对于平面上的任一点P,存在有序实数对(,)xy,使得除此之外,还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.n这样，点O与向量不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出内的任意一点.ab,探究点2平面的法向量A几点注意：1.法向量一定是非零向量.2.一个平面的所有法向量都互相平行.3.向量是平面的法向量，向量与平面平行或在平面内，则有0.nal平面的法向量：如图，直线，取直线l的方向向量，则向量叫做平面的法向量.laaa给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.aaan因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？lmab//lm//abab设直线,lm的方向向量分别为,ab，lua//l0auau////uvuv平面,的法向量分别为,uv，则vu平面,的法向量分别为,uv，则线线平行,;lmababR∥∥注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.线面平行0;lauau∥面面平行,.uvuvR∥∥设直线,lm的方向向量分别为,ab，例1.用向量方法证明定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.,证l取,m的方向向量a,b取α,β的法向量u,v.明:因l∥β,m∥β,所以a⊥v,b⊥v.为llll直线,m和平面α，β，其中,m⊂α,与m相交,∥β,m已知：求证：∥β,α∥β.vuαβabｍ0,0.所以avbv因l,mα,且l,m相交，所以α任一直的方向向量p可以表示如下形式p=xa+yb,x,yR.因p×v=xa+yb×v=xa×v+yb×v=0.为内线为为即平面β的法与平面α任一直垂直.所以平面β的法向量也是平面α的法向量，即u∥v.因此，α∥β.线内线l123213--ABAB已知两点（，，），（，，），求，连线与三个坐标平面例2.的交点。设连线点为11A,B与yOz平面的解交C（0，y，z：），由OC=（1-t）OA+tOB得所以所以t=-1.1111（0，y，z）=（1-t）(1,-2,3)+t(2,1,-3),（0，y，z）=(1+t，-2+3t，3-6t）,0=1+t,所以OC=（0，-5，9）.同理得A,B连线与xOz，xOy平面的交点为531(,0,1),(,,0).322已知两点A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在OP上运动，求当QAQB取得最小值时，点变Q.式练习：的坐标设OQ=λOP=(λ,λ解：,2λ),2所以QAQB=6λ-16λ+10,42所以λ=，QAQB取得最小值-,33当时时448此Q（，，）.333C2．下列命题中正确的是（）A．若n是平面ABC的一个法向量，则n和平面ABC内任意一条直线的方向向量垂直B．若n和平面ABC内两条直线的方向向量垂直，则n是平面ABC的法向量C．若n既是平面α的法向量，又是平面β 的法向量，则α∥βD．若α∥β ，则它们所有共同的法向量都在一条直线上A3．空间中的点P，可用向量OP表示，OP称为点P的________．4．空间中任意一条直线l的位置可以由_____________以及一个向量确定，这个向量叫做直线的___________．5．直线l⊥平面α，取直线l的方向向量a，则向量a⊥平面α，向量a叫做平面α的_____________．6．设a，b在平面α内(或与α平行)，a与b不平行，直线l的方向向量为c，则l⊥α⇔___________________________.位置向量l上一个定点A方向向量法向量00acbcacbc且或＝且＝7．若互不重合的平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－2)，v＝(－3，－6，6)，证明：α∥β.因u＝(1，2，－2)，v＝(－3，－6，6)，所以v＝－明：3u，即v∥u.为证又因u，v分平面α，β的法向量且α，β互不重合，所以α∥β.为别为1．如何认识直线的方向向量？空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个方向确定．在直线l上取点A和，可以作为l的方向向量，借助点A和即可确定直线l的位置，并能具体表示出直线l上的任意一点．aaa2．如何理解平面的法向量？(1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量．(2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．3．如何认识直线的方向向量和平面的法向量的作用？(1)可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系．(2)可以利用它们表示直线与平面所成的线面角．(3)可以解决有关线段的长度或点、线、面之间的距离问题．当今之世，舍我其谁！