26.2.5二次函数的图像和性质5

26.1二次函数图象和性质(5)1．的顶点坐标是________，对称轴是__________2．怎样把的图象移动，便可得到的图象？（h，k）复习提问2yaxhk直线x＝h23yx2325yx3．的顶点坐标是，对称轴是．2325yx(－2，－5)直线x＝－24．在上述移动中图象的开口方向、形状、顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没有变化？有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴没有变化的：抛物线的开口方向、形状我们复习了将抛物线向左平移2个单位再向下平移5个单位就得到的图象，将化为一般式为，那么如何将抛物线的图像移动，得到的图像呢？新课23yx2325yx2325yx23127yxx23yx23127yxx的图象怎样平移就得到2yax2yaxbxc那么一般地，函数的图象呢？1．用配方法把2yaxbxc2yaxhk化为的形式。的形式，求出顶点坐标和对称轴。215322yxx2yaxhk例1用配方法把化为215322yxx21342x解：顶点坐标为（－3，－2），对称轴为x＝－32169952xx21652xx21322x答案：，顶点坐标是(1，5)，对称轴是直线x＝1．的形式，求出顶点坐标和对称轴。2247yxx2yaxhk2215yx练习1用配方法把化为的方法和我们前面学过的用配方法解二次方程“”类似．化为的形式。2．用配方法把抛物线2yaxbxc2yaxhk2yaxbxc2yaxhk把变形为20axbxc2yaxbxc24,24bacbaa2bxa所以抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线。2yaxbxc22222bbbcaxxaaaa222424bacbaxaa22424bacbaxaa2bcaxxaa的形式，求出对称轴和顶点坐标．21522yxx2yaxhk例2用公式法把化为21522yxx15,1,22abc221541144221,2112422422bacbaa21122yx解：在中，，∴顶点为（1，－2），对称轴为直线x＝1。的形式，并求出顶点坐标和对称轴。答案：，顶点坐标为（2，2）对称轴是直线x＝22286yxx2yaxhk2222yx练习2用公式法把化成3．2yaxbxc图象的画法．2yaxbxc2yaxhk步骤：1．利用配方法或公式法把化为的形式。2．确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。3．在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。的图像，利用函数图像回答：例3画出2286yxx(1)x取什么值时，y＝0？(2)x取什么值时，y＞0？(3)x取什么值时，y＜0？(4)x取什么值时，y有最大值或最小值？分析：我们可以用顶点坐标公式求出图象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就是图象的对称轴．在对称轴的一侧再找两个点，则根据对称性很容易找出另两个点，这四个点连同顶点共五个点，过这五个点画出图像．解：列表xy22100－6304－6…………22860yxx（2,2）·····x=2（0,－6）（1,0）（3,0）（4,－6）2286yxx由图像知：(1)当x＝1或x＝3时，y＝0；(2)当1＜x＜3时，y＞0；(3)当x＜1或x＞3时，y＜0；(4)当x＝2时，y有最大值2。xy练习3画出222yxx的图像。x…－10123…y…52125…解：y=(x－1)2＋1∴图象开口向上，顶点为（1，1），对称轴为：直线x=1x=1y=x2－2x＋2（3）开口方向：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。4．二次函数2yaxbxc的性质：（1）顶点坐标24,;24bacbaa（2）对称轴是直线2bxa2bxa24-,4acbya最小＝2bxa24-;4acbya最大＝如果a＞0，当时，函数有最小值，如果a＜0，当时，函数有最大值，（4）最值：2bxa2bxa2bxa2bxa①若a＞0，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小。②若a＜0，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大。（5）增减性：与y轴的交点坐标为（0，c）(6)抛物线2yaxbxc与坐标轴的交点①抛物线2yaxbxc2yaxbxc12,0,,0xx12,xx20axbxc②抛物线与x轴的交点坐标为，其中为方程的两实数根与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程2yaxbxc20axbxc(7)抛物线的根的判别式判定：①△＞0有两个交点抛物线与x轴相交；②△＝0有一个交点抛物线与x轴相切；③△＜0没有交点抛物线与x轴不相交（相离）。相等，则形状相同。(1)a决定抛物线形状及开口方向，若a①a＞0开口向上；5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。②a＜0开口向下。5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线2bxa③若a，b异号对称轴在y轴右侧。，故①若b＝0对称轴为y轴，②若a，b同号对称轴在y轴左侧，即：同左、异右（a、b）5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。(3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置。当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴有且只有一个交点(0，c)，①c＝0抛物线经过原点；②c＞0抛物线与y轴交于正半轴；③c＜0抛物线与y轴交于负半轴。例8已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判断以下各式的值是正值还是负值．(1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b；(6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．分析：已知的是几何关系(图形的位置、形状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用．解：(1)因为抛物线开口向下，所以a＜0；判断a的符号(2)因为对称轴在y轴右侧，所以02ba，而a＜0，故b＞0；判断b的符号(3)因为x＝0时，y＝c，即图象与y轴交点的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正半轴，即c＞0；判断c的符号2404acba240acb240bac(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标，且a＜0，所以，故。判断b2－4ac的符号，且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；(5)因为顶点横坐标小于1，即12ba判断2a＋b的符号(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为正值，即a·12＋b·1＋c＞0，故a＋b＋c＞0；判断a＋b＋c的符号(7)因为图象上的点的横坐标为－1时，点的纵坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1)＋c＜0，故a－b＋c＜0．判断a－b＋c的符号例4已知抛物线247,yxkxk①k取何值时，抛物线经过原点；②k取何值时，抛物线顶点在y轴上；③k取何值时，抛物线顶点在x轴上；④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。，所以k＝－4，所以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。，所以k＝－7，所以当k＝－7时，抛物线经过原点；②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即解：①抛物线经过原点，则当x＝0时，y＝0，所以200407kk40221kba，所以当k＝2或k＝－6时，抛物线顶点在x轴上。③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即22417440441kkacba24120kk122,6kk，整理得，解得：④由②、③知，当k＝－4或k＝2或k＝－6时，抛物线的顶点在坐标轴上。22417440441kkacba所以当x＝2时，。解法一（配方法）：2281yxx22277x7y最小值＝－2241xx224441xx例5当x取何值时，二次函数有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？2281yxx因为所以当x＝2时，。因为a＝2＞0，抛物线有最低点，所以y有最小值，2281yxx224218842,7222442bacbaa－7y最小值＝－总结：求二次函数最值，有两个方法．(1)用配方法；(2)用公式法．解法二（公式法）：又例6已知函数，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。211322yxx解法一：，102a∴抛物线开口向下，21169922xx21913222x21352x∴对称轴是直线x＝－3，当x＞－3时，y随x的增大而减小。211322yxx102a331222ba解法二：，∴抛物线开口向下，∴对称轴是直线x＝－3，当x＞－3时，y随x的增大而减小。例7已知二次函数212321ymxmxmm的最大值是0，求此函数的解析式．解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0．所以应满足以下的条件组．21041322041mmmmm，①②由②解方程得121,22mm不合题意，舍去所求函数解析式为21111232,222yxx。21122yxx即最大？是多少时场地面积当的变化而变化，随矩形一边长矩形面积的篱笆围成矩形场地，用总长为例SllSm.609求抛物线解析式过点已知抛物线),6,0(),0,3(),0,2(2CBAcbxaxy一般式交点式顶点式1练习3222013222x)(x)(xxy.的最大值和最小值数分别在下列范围内求函)(cba),,(P,x)a(cbxaxy.值为的则且经过点是的对称轴抛物线0320324321142303212120211000421212.D.C.B.A)(a)(ba)(ba)(ba)().,(y,x,x),x)(,x(xcbxaxy.的个数为其中正确下列结论：轴交于点与两点，且轴交于的图象与已知二次函数2.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3-3.5-4-3-2-1123451212xy121xy轴相交于负半轴且与图象经过点的图象开口向上，二次函数y),)(,(cbxaxy.012152______cba)(c)(b)(a)()a(其中正确结论的序号是问：给出四个结论：04030201______1)4(1)3(02)2(0)1()(是其中正确结论的序号问：给出四个结论：acabaabcb此抛物线的解析式，求全相同，又抛物线过点完的开口方向和开口大小线上，并且它与抛物抛物线的顶点在已知抛物线),(Mxyxycbxaxy.2021836222？试证明你的结论为，使它的周长是否存在这样的矩形的取值范围的函数解析式，并求出关于自变量周长的，试求矩形的坐标为设点求二次函数的解析式图形内轴所围成的在抛物线与线上，矩形在抛物轴上，在的顶点矩形，的顶点坐标为二次函数932120472ABCD)(xxPABCD)y,x(A)()(xABCDD,AxC,BABCD),(mmxy.________y,y,yxxy)y,(C)y,(B)y,(A.的大小关系是的图象上