21定积分的概念和性质

定积分的概念和性质设函数yf(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线xa、xb、y0（即X轴）及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.1.曲边梯形的面积一、定积分问题举例观察与思考：在曲边梯形内摆满小的矩形,当小矩形的宽度减少时,小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?怎样求曲边梯形的面积？Oxyab1x1ixix)(xfy,0)(xf设.]),([)(baCxf第一步：分割称为区间的一个分法把区间分成个小区间个小区间长度为第i在区间中任意插入若干个分点),2,1(,1nixxxiii],[],,[],,[12110nnxxxxxx012naxxxxb第二步：近似1ixixi],,[1则iiixx.)(:iiixfS小曲边梯形面积对每个小曲边梯形均作上述的近似Oxyab1x1ixix)(xfy第三步：求和.)(:11niiiniixfSS曲边梯形面积极限过程是什么？如何求精确值？Oxyab1x1ixix)(xfy第四步：取极限iniixfA)(lim10当区间长度中最大值时0}{max1inix2.变速直线运动的路程12[,]TT上的非负连续函数，设某物体作变速直线运动，求物体在这段时间内所经过的S路程()Vt已知速度是时间间隔变量，若V02)(12TTVS则路程为常量，若V01则可通过下面的步骤分析：（1）分割1iiittt别为每个小时间段的长度分个小时间段分成把nTT],[21],[],,[],,[12110nntttttt内任意插入若干个分点在时间间隔],[21TT22101TttttTn（2）取近似][1iiitt在每个小时间段上任取各点的速度),2,1()(nitVsiii上来近似代替时的速度以],[)(1iiiittV小时间段的路程为则第个i(3)求和得路程的近似值路程相加，将每个小时间段所走的),,3,2,1()(11nitVSSiniinii分割，取近似，求和，取极限}){()(lim110iniiniitmxatVS（4）取极限1.定积分的定义(i1,2,,n),niiixf1)(作和记xi=xi-xi1(i1,,n),个分点:ax0x1x2xn1xnb;设函数f(x)在区间[a,b]上有界.badxxf)(,niiibaxfdxxf10)(lim)(.即二、定积分的定义在区间[a,b]内插入n如果当0时,上述和式的此时称f(x)在[a,b]上可积.max{x1,x2,,xn};在小区间[xi1,xi]上任取一点i极限存在,且极限值与区间[a,b]的分法和的取法无关,则称此极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记为ibaxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间],[ba符号baxxfd)(读作函数f(x)从a到b的定积分.关于定积分定义的几点说明：(1)所谓和式极限存在iniixf10)(lim(即函数f(x)可积)，是指无论对区间[a,b]怎样分法，也不论对点i(i=1,2,···,n)怎样取法，极限都存在且有相同的极限值.(2)可以证明，闭区间上连续函数或只有有限个第一类间断点的函数是可积的.(3)因为定积分是和式极限，它是由函数f(x)与区间[a,b]所确定的，因此，它与积分变量的记号无关，即bababaduufdttfdxxf.)()()((4)该定义是在积分下限a小于积分上限b的情况下给出的，,)(baxxf的定义d此时，只要把插入分点的顺序反过来写a=x0x1x2···xi-1xi···xn-1xn=b由于xi-1xi，xi=xi-xi-10，于是有abbadxxfdxxf.)()(特殊地，当a=b时，.0d)(aaxxf规定如果ab，同样可给出定积分即可，根据定积分的定义，上面两个例子都可以表示为定积分：(1)曲边梯形面积A是曲边函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，即;)(badxxfA(2)变速直线运动的路程s是速度函数v(x)在时间间隔[T1,T2]上的定积分，即.d)(21TTttvS解把区间[0,1]分成n等份,分点为和小区间长度为nixi(i1,2,,n1),nxi1(i1,2,,n).取nii(i1,2,,n),作积分和niiniiiniinnixxf121211)()()12)(11(61nn.31)12)(11(61lim)(lim10210nnxfdxxnniii.因为n1,当0时,n,所以例1例1利用定义计算定积分102dxx.nixi(i1,2,,n1),nxi1(i1,2,,n).niiniiiniinnixxf121211)()()12)(11(61nn.niiniiiniinnixxf121211)()()12)(11(61nn.niiniiiniinnixxf121211)()()12)(11(61nn.因为n1,当0时,n,所以31)12)(11(61lim)(lim10210nnxfdxxnniii.31)12)(11(61lim)(lim10210nnxfdxxnniii.2222(1)(21)1236nnnn公式（1）当f(x)0时,f(x)在[a,b]上的定积分表示由曲线曲边梯形的面积.（2）当f(x)0时,f(x)在[a,b]上的定积分表示曲边梯形面积的负值.三、定积分的几何意义()bafxdxA()bafxdxAOxyab)(xfy1A2A3Acd,)(d)(bxaxxfyxxfba与直线等于曲线.面积的代数和轴所围成的几何图形的及x123()bafxdxAAAA=A1+A2+A3例2、用定积分表示下列图中阴影部分的面积102xdx1211xdx例3、用定积分表示由所围平面图形的面积。sinyx31,0,4xyx1o34341sinAxdx解：平面图形如右图所示例4用定积分表示由所围平面图形的面积。sinyx51,0,4xyx1o解：平面图形如右图所示54A211sinAxdxA1542sinAxdx12AAA由图可知因为541sinsinAxdxxdx所以解函数y1x在区间[0,1]上的定积分是以y1x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形的面积.例5例2用定积分的几何意义求10)1(dxx.211121)1(10dxx.211121)1(10dxx.211121)1(10dxx.四、定积分的性质下面各性质中的函数都假设是可积的.性质1（1）两个函数和的定积分等于它们定积分的和，即badxxgxf)()(babadxxgdxxf.)()(证根据定积分的定义，有baxxgxfd)()(iniiixgf10)()(limniniiiiixgxf1100)(lim)(limbabaxxgxxf.)()(dd性质1（1）可推广到有限多个函数代数和的情况，即banxxfxfxfd)()()(21.)()()(21banbabaxxfxxfxxfddd).(d)(d)(是常数kxxfkxxkfbaba.d)(=)(lim=10baniiixxfkxfkniiibaxkfxxkf10)(limd)(证明niiixfk10)(lim性质1（2）被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即性质2如果在区间[a,b]上f(x)1，那么.dd1abxxbaba性质3（积分对区间的可加性）如果积分区间[a,b]被分点c分成区间[a,c]和[c,b]，则bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积分.当c在区间[a,b]之外时，上面表达式也成立..d)(,0,21,0,1)(21xxfxxxxxf求例、已知利用定积分的几何意义，可分别求出，21d)1(01xx.23121d)(21－xxf，200121d)21(d)1(d)(xxxxxxf解，1d)21(20xx解判断题例:dxxxdxdxxeeee1111lnlnln)1()(dxxdxxdxxeeee1111lnlnlndxxxdxee111lnlndxxdxxdxxsin2sin22cos12020xdxxdxsin2sin220解判断题例:xdxdxxsin22cos1)2(2020)(性质5如果在区间[a,b]上有f(x)≤g(x)，那么baxxfd)(.)(baxxgd≤证由性质1与定积分的定义，知babaxxgxxfdd)()(baxxgxfd)()(,)()(lim10iniiixgf由题设得知f(i)≤g(i)，即f(i)-g(i)≤0，且xi0(i=1,2,···,n)，所以上式右端的极限值非正，从而有,0)()(babaxxgxxfdd移项，得推论由性质5可得.)()(babaxxgxxfdd.|)(|)(babaxxfxxfdd例比较下列各对积分值的大小：;)1(101033xxxxdd与.)1ln()2(1010xxxxdd与解(1)根据幂函数的性质，在[0,1]上，有由性质4，得.33xx;101033xxxxdd(2)令f(x)=x-ln(1+x)，f(x)x11101xx所以，f(x)≥f(0)=[x-ln(1+x)]|x=0=0，从而有x≥ln(1+x)，由性质4，得.)1ln(1010xxxxdd函数f(x)在区间[0,1]上单调增加，知由在区间[0,1]上性质5(估值定理)如果存在两个数M，m，使函数f(x)在闭区间[a,b]有m≤f(x)≤M，那么介于与区间[a,b]长度为底，该性质的几何解释是：曲线y=f(x)在[a,b]上的曲边梯形面积分别以m和M为高的两个矩形面积之间.m(b-a)≤M(b-a)．baxxfd)(≤y=f(x)yxabmMOBA.dsin3π6π的值例、试估计定积分xx，6π3π23dsin6π3π213π6πxx.12π3dsin12π3π6πxx即，最小值，上，最大值，在216πsin)6π(233πsin)3π(]3π6π[ff解,]1,1[e2上的最大值和最小值在区间先求x解:,2)(,2xxxfe求为此令f(x)=0，得驻点x=0.比较驻点x=0，区间端点x=1的函数值，f(0)=e0=1，,1)1(1eef,1em得最小值根据估值定理得例、估计定积分的值。112exxd最大值M=1，.22112xxdee≤≤m(b-a)≤M(b-a)．baxxfd)(≤估值定理baxxfd)