21对称性在积分中的应用

对称性在积分中的应用摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系,小到分子原子.根据对称性,我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化.本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题,主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性,从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法.另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算.积分的计算是高等数学教学的难点,在积分计算时,许多问题用“正规”的方法解决，反而把计算复杂化,而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷,达到事半功倍的效果.关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称目录一、引言二、相关对称的定义（一）区域对称的定义（二）函数对称性定义（三）轮换对称的定义三、重积分的对称性（一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性（一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性（一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结参考文献谢词一、引言积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性.在积分计算中,根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性,往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分对称性的定理及结论,再结合相关的实例进行具体探讨.本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性,平行于坐标面的平面等的对称性定义.二、相关的定义定义1：设平面区域为D,若点),(yx),2(yxaD,则D关于直线ax对称,对称点),(yx与),2(yxa是关于ax的对称点.若点),(yx∈D)2,(ybx),(yxD,则D关于直线by对称，称点),(yx与)2,(ybx是关于by的对称（显然当0a,0b对D关于y,x轴对称）.定义2:设平面区域为D,若点),(yxD),(axay,则Daxy对称,称点),(yx与),(axay是关于axy的对称点.若点),(yxD),(xayaD，则D关于直线zy对称.注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义.空间对称区域.定义3：(1)若对),,(zyx,点),,(zyx,则称空间区域关于xoy面对称;利用相同的方法,可以定义关于另外两个坐标面的对称性.(2)若对),,(zyx,点),,(zyx,则称空间区域关于z轴对称;利用相同的方法,可以定义关于另外两个坐标轴的对称性.(3)若对),,(zyx,点),,(zyx,则称空间区域关于坐标原点对称.(4)若对),,(zyx,点),,(),,,(yxzxzy,则称空间区域关于zyx,,具有轮换对称性.定义4:若函数)(xf在区间aa,上连续且有)()(axfaxf,则)(xf关于ax对称当且仅当0a时)()(xfxf,则)(xf为偶函数.若)()(xafxaf,则)(xf为关于0,a中心对称.当且仅当0a时有)()(xfxf则)(xf为奇函数.若)()(axfaxf且)()(xafxaf则)(xf既关于ax对称,又关于0,a中心对称.定义5若n元函数),,,,,,(),,,(11121ixxxxxfxxxfniin,(ni,,2,1),则称n元函数),,,(21nxxxf关于nxxx,,,21具有轮换对称性.定义6：若)(),,,(21NnRDxxxpnnn有),,,,,,(1111ixxxxxpniinD),,2,1(ni成立，则称nD关于),,,(21nxxxp具有轮换对称性.三、重积分的对称性（一）对称性在定积分中的应用利用函数图形的对称性可简化定积分的计算.在特殊情况下,甚至可以求出原函数不是初等函数的定积分.因此掌握对称性在积分中的方法是必要的.下面首先给出一个引理,由此得出一系列的结论,并通过实例说明这是结论的应用.引理设函数)(xf在haha,上连续,则有hahahdxxafxafdxxf0)()()((1)证令tax,有hahahhhdttafdttafdxxf0)()()((2)令ut,则000)()()(hhhduuafduuafdttaf（3）将（3）式带入（2）式,并将积分变量统一成x,则hhahadxdxxafxafdxxf0)()()(特别地，令0a，就得公式dxxfxfdxxfhhh0)()()(由函数奇偶性的定义及上式，易知定理1设函数)(xf在hh,上连续，那么2）若)(xf为偶函数，则hhhodxxfdxxf)(2)(3）若)(xf为奇函数，则hhdxxf0)(次结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大的帮助，例1求xdxxxIcos1122223解：虽然被奇函数非奇非偶，但可以把它分成两部分xxxcos123和xcos，前一部分是奇函数，后一部分是偶函数，运用定理1的结论简化其计算.222223coscos1xdxdxxxxI=20cos2xdx=2注：而对于任意区间上的定积分问题，可以平移到对称区间hh,上求解。下面我们把定理1推广到更一般的情况.定理2设函数)(xf连续1）若)(xfy的图像关于直线ax对称，即)()(axfaxf，则对一切0h，有hahahaodxxfdxxf)(2)(2）若)(xfy的图像关于原点0,a中心对称，即)()(xafxaf，则对一切0h，有hahadxxf0)(证1)由（1）式及已知条件)()(axfaxf，有hahahaohdttfdxxafdxxf)(2)(2)(02)有（1）式及已知条件)()(xafxaf，有hahahdxdxxf00)(0例2求02cos1sindxxxxI解：由于xsin及x2cos11都关于2x对称，)2(x关于)0,2(点中心对称，因此xcodxx21sin)2(关于点)0,2(点中心对称，有区间,0关于2x对称，故由定理2的2）有01sin)2(02dxxcodxxI于是41sin]2)2[(1sin20202dxxcodxxdxxcodxxI本例中的被积函数)cos1(sin2xxx原函数不是初等函数，所以不能直接利用牛顿—莱布尼兹公式，但利用对称性却能容易地求出其值.以上我们研究的是一个函数图像本身的对称性在积分中的应用，下面来看看两个函数图像之间的对称关系是如何在定积分中的应用的.定理3设)(xf，)(xg都是连续1）若)(xf与)(xg关于直线ax对称，即)()(axgaxf，则对一切0h，有hahahaodxxgdxxf)(2)(2）若)(xf与)(xg的图像关于原点0,a中心对称，即)()(xafxaf，则对一切0h，有hahahahadxxgdxxf)()(例3求axaxdxI022解：设taxsin，]2,0[t，则20022cossincosdttttxaxdxIa而由定理3可证2020cossincoscossinsindttttdtttt，故20202cossincossin2dtdtttttI故4I.注：定理3可以推广到更一般的情况.定理4设)(xf与)(xh都连续，则1）aadxxaufdxxuf00)]([)]([；2）.)]([)]}([)]([{00aadxxaufadxxaufxufx例4计算20cossin31cossindxxxxxnn解：令xxxxxfnncossin31cossin)(，则xxxxxfnncossin31sincos)2(所以0)2()(xfxf,由定理3得0cossin31cossin20dxxxxxnn.我们可以看出这些都是教材中常见的等式，我们使用对称性给出了它们的简洁证明，并有一定的规律可循.另外,取各种连续函数)(xf，又可以从已知的公式中到处许多公式.（二）重积分中的对称性定理及应用在二重积分的计算中利用对称性不仅要求积分区域D具有对称性，而且被积函数对于区域D也要有有对称性.但在特殊情况下区域D不对称，或者关于对称区域D的被积函数不具备对称性，也可以经过一些变化使之能用对称性来计算.定理5设二元函数),(yxf在平面区域D连续，且D关于x轴对称，则1)当),(),(yxfyxf（即),(yxf是关于y的奇函数）时，有Ddxdyyxf0),(2)当),(),(yxfyxf（即),(yxf是关于y的偶函数）时，有DDdxdyyxfdxdyyxf0),(2),(1,其中1D是由x轴分割D所得到的一半区域.例5计算DdxdyyxyI)(3，其中D为由xy22与2x围城的区域.解：如图所示几，积分区域D关于x轴对称，且图形待定),()(),(3yxfyxyyxf即),(yxf是关于y的奇函数，由定理5有0)(3DdxdyyxyI类似地推出下面的定理：定理6设二元函数),(yxf在平面区域D连续，且D关于y轴对称，则1）若),(),(yxfyxf，则2),(2),(DDdxdyyxfdxdyyxf2）若),(),(yxfyxf，则0),(Ddxdyyxf其中2D是由y轴分割D所得到的一半区域.例6计算DdyxfxyI)(223，，其中D为y3x，1y所围成的区域，)(uf是连续函数.图形待定解：如图几，作辅助线y3x，它把区域D分成1D，2D两部分，其中331,10|,yxyyyxD,332,10|,xyxxyxD,在1D上，)(,223yxfxyyxF满足),(),(yxFyxF，而1D关于y轴对称，因而0)(1223Ddyxfxy.在2D上，),(),(yxFyxF，且2D关于x轴对称，因而0)(2223Ddyxfxy因此0)(21223DDDdyxfxyI例7计算二重积分DdxdyyxI|)||(|，其中D：2||||yx解：如图所示几,D关于x轴和y轴均对称，且被积函数关于x和y是偶函数，即有),(),(),(yxfyxfyxf由定理5,6，得1|)||(|4|)||(|DDdxdyyxdxdyyxI其中1D是D的第一象限部分，2有对称性知，11||||DDdxdyydxdyx,故38||8|)||(|4|)||(|4111DDDdxdyxdxdyyxdxdyyxI图形待定定理7设平面区域21DDD,且1D,2D关于原点对称，则当D上连续函数满足1）),(),(yxfyxf时，有DDdxdyyxfdxdyyxf1),(2),(2）),(),(yxfyxf时，有Ddxdyyxf0),(.例8计算二重积分dxdyyxD)(33，区域D:122yx解：如图所示几，区域D关于原点对称，对于被积函数33),(yxyxf，有),()()()(),(3333y