初中数学重点知识点――函数

初中数学重点知识点解析与教学建议知识点了解理解掌握应用注释函数常量、变量的意义／确定自变量的取值范围仅限于整式。分式和简单实际问题。函数的意义及三种表示方法／函数值、自变量取值范围／简单函数模型、规律探索／课标解读知识点了解理解掌握应用注释一次函数一次函数、正比例函数的意义／性质指由可k、b值确定图象的变化情况．一次函数性质、图象／一次函数模型／知识点了解理解掌握应用注释反比例函数反比例函数的意义／性质指由k值确定图象的变化情况．反比例函数性质、图象／反比例函数模型／知识点了解理解掌握应用注释二次函数二次函数的意义／与性质相关的公式不要求推导，但建议要牢记．二次函数性质及其图象／二次函数模型／考试内容与要求1．函数考试内容：常量、变量、函数；自变量的取值范围和函数值：函数的表示方法。考试要求（1）通过简单实例，了解常量、变量的意义。（2）能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例。（3）能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。（4）能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求出函数值。（5）能用适当的函数表示法刻画实际问题中变量之间的关系。（6）结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。2．一次函数考试内容：正比例函数及其图象；一次函数；一次函数的图象和性质；一次函数与二元一次方程组的关系；一次函数的应用考试要求（1）结合具体情景体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式（2）会画一次函数的图像，根据一次函数的图像和解析表达式探索并理解其性质（k0或k0时，图像的变化情况）。（3）理解正比例函数。（4）能用一次函数的图像求二元一次方程组的近似解。（5）能用一次函数解决实际问题。3．反比例函数考试内容：反比例函数；反比例函数的图像和性质；反比例函数的应用。考试要求（1）结合具体情境体会反比例函数的意义，根据已知条件确定反比例函数表达式。（2）会画反比例函数的图像，根据图像和解析表达式探索并理解其性质（k0或k0时图像的变化情况）（3）能用反比例函数解决简单的实际问题。4．二次函数考试内容：二次函数；二次函数的图象和性质；抛物线的顶点、对称轴和开口方向；二次函数与一元二次方程组的关系；二次函数的应用。考试要求（1）通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义。（2）会用描点法画二次函数的图像，能从图像上认识二次函数的性质。（3）会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单实际问题。（4）能用二次函数的图像求一元二次方程的近似解题型形式1．考查函数的基本概念例1（2008年郴州市）如果点M在直线y=x-1上，则M点的坐标可以是（）A．（－1，0）B．（0，1）C．（1，0）D．（1，－1）例2（2008年南昌市）下列四个点，在反比例函数图象上的是（）A．(1，-6)B．（2，4）C．（3，-2）D．（-6，-1)6yx例3（2008福建福州）已知抛物线与x轴的一个交点为(m,0)，则代数式的值为（）A．2006B．2007C．2008D．200921yxx22008mm评：以上三题是三种不同函数的基本概念（点与函数的关系）例4（2008年泰州市）根据流程右边图中的程序，当输入数值x为－2时，输出数值y为A．4B．6C．8D．10例5任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（）评：以上两题是函数的不同的表达形式。2．考查函数的取值范围与意义评：求函数的定义域是最基本的知识点。例3（2008年桂林市）2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往，下列是官兵们行进的距离Ｓ（千米）与行进时间t（小时）的函数大致图像，你认为正确的是（）例4（2008盐城）如图，A、B、C、D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O—C—D—O路线作匀速运动．设运动时间为t（s），∠APB=y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是例5(2008年杭州市)如图,水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,(1)请分别找出与各容器对应的水的高度和时间的函数关系图象,用直线段连接起来;(2)当容器中的水恰好达到一半高度时,请在函数关系图的轴上标出此时值对应点的位置.(a)对应关系连接如下:(b)当容器中的水恰好达到一半高度时,函数关系图上的位置如上:例6(2008年宁波市)如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系，则以下说法错误的是（）A．若通话时间少于120分，则方案比方案便宜20元B．若通话时间超过200分，则方案比方案便宜12元C．若通讯费用为60元，则方案比方案的通话时间多D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分评：识别函数表示某种意义是函数学习的根本目的。3．考查函数的图像与性质（数形结合）例1（2008年义乌市）李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位学生分别指出这个函数的一个特征．甲：它的图像经过第一象限；乙：它的图像也经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y随x增大而增大．在你学过的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式．例2（2008茂名）已知反比例函数的图象，在每一象限内，的值随值的增大而减少，则一次函数的图象不经过（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限(0)ayaxyaxa评：一次函数、反比例函数与二次函数是初中函数的支撑，学习它们就必须要知道它们的图像及其性质。4．考查函数与其它知识点的联系评：函数与方程、不等式等许多知识点的结合，使函数的学习更加丰富而灵动。5．考查函数的应用（1）代数应用例1(2008年安徽省)刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往30千米的A镇；二分队因疲劳可在营地休息a（0≤a≤3）小时再往A镇参加救灾。一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路，已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为（4＋a）千米/时。①若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到A镇？②若二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时？③下列图象中，①②分别描述一分队和二分队离A镇的距离y(千米)和时间x(小时)的函数关系，请写出你认为所有可能合理的代号，并说明它们的实际意义。例2（2008年巴中市）为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg．据以上信息解答下列问题：①求药物燃烧时与的函数关系式．②求药物燃烧后与的函数关系式．③当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？例3（2008年自贡市）抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库。已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为110吨。从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）甲库乙库甲库乙库A库20151212B库2520108路程（千米)运费（元/吨·千米）①若甲库运往A库粮食吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式②当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？例4（2008年荆州市）“5•12”汶川大地震后，某健身器材销售公司通过当地“红十字会”向灾区献爱心，捐出了五月份全部销售利润．已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号器材若干台，每种型号器材不少于8台，五月份支出包括这批器材进货款64万元和其他各项支出（含人员工资和杂项开支）3.8万元.这三种器材的进价和售价如下表，人员工资y1(万元)和杂项支出y2（万元）分别与总销售量x（台）成一次函数关系(如图).①求y1与x的函数解析式；②求五月份该公司的总销售量；③设公司五月份售出甲种型号器材t台，五月份总销售利润为W（万元），求W与t的函数关系式；（销售利润＝销售额－进价－其他各项支出）④请推测该公司这次向灾区捐款金额的最大值.①求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像；（5分）评：函数的应用是学习函数的根本，尤其是把函数应用到生活中去，使函数的学习更有意义。6．考查函数的应用（2）几何应用例1（2008年龙岩市）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，直线FA⊥x轴于点A，点D在FA上，且DO平行⊙O的弦MB，连DM并延长交x轴于点C.①判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明；②设点D的坐标为（-2，4），试求MC的长及直线DC的解析式.①判断△ABM的形状，并说明理由。②当顶点M的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。③若平行于轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与轴相切，求该圆的圆心坐标。评：函数的几何应用真正体现了数形结合，是代数与几何最完美的结合。7．考查函数的应用（3）函数与运动①写出直线BC的解析式．②求△ABC的面积．③若点M在线段上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A,B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积s与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？评：函数与运动的题型很多，这是当今数学学习最时髦的考试方向。8．考查函数的应用（4）函数与建模例1：（08茂名）我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？例2：(2008年扬州市)红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：时间t（天）1361036…日销售量m（件）9490847624…下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a4）给希望工程。公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围。时间t（天）1361036…日销售量m（件）9490847624…评：函数与建模思想是学习函数的本质精髓所在，也是我们扬州市近几年来中考命题的主要指导思想。这是一个比较前卫的话题，也是当前中考的热点问题，几何图形不再是孤立不动的，它是变化的，它是灵动的，这不仅符合学科发展的需要，同时也符合学生生理和心理追求的需要，也是当前课改的方向。初中平面几何中涉及到的图形变换有全等变换与相似及位似变换、轴对称与中心对称以变换、翻折平移与旋转变换等；而运动有点运动、线运动、图形运动等等，现在几乎是每一份中考试卷中必不可少的一部分。图形与运动（1）请从下列序号中选择正确选项