圆周角与弦切角

圆周角与弦切角教学目标1．理解圆周角定理与圆心角定理、圆周角定理的两个推论，并能用其解决问题;2.理解切线的性质定理、判定定理及两个推论，能应用定理及推论解决相关的几何问题．3.通过对弦切角定理的探究，体会分类思想、特殊化思想和化归思想在数学思想中的作用．4.理解弦切角定理，能应用定理证明相关的几何问题．教学重点理解弦切角定理，能应用定理证明相关的几何问题．1．圆周角定理(1)圆心角及圆周角的概念：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫做圆周角；顶点在圆心的角叫做圆心角．(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的．圆心角的一半一、知识回顾2．圆心角定理(1)定理：圆心角的度数等于的度数．(2)圆心角的表示：圆心角∠AOB与其所对的AB所对的度数是相等的，如图所示，可以记为：∠AOB的度数＝AB的度数，不能写成∠AOB＝AB.它所对弧3．圆周角定理的推论(1)推论1：同弧或等弧所对的；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是．(3)在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间的相等关系，简单地说，就是圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等．圆周角相等直角直径4．圆的切线的性质定理及推论(1)定理：圆的切线垂直于经过切点的．(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过．(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过．半径切点圆心【例1】如图所示，在△ABC中，已知AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E.求证：DE是⊙O的切线．．证明连接OD和AD，如图所示．∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.∵AB＝AC，∴BD＝CD.∵AO＝OB，∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．练习1如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，且AD＋BC＝AB，AB为⊙O的直径．求证：⊙O与CD相切．证明过O作OE⊥CD，垂足为E.因为AD∥BC，∠C＝90°，所以AD∥OE∥BC.因为O为AB的中点，所以E为CD的中点．所以OE＝12(AD＋BC)．又因为AD＋BC＝AB，所以OE＝12AB，且等于⊙O的半径．所以⊙O与CD相切．反思感悟判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法①如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”；②若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径”1．弦切角的概念定义：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图所示，∠ACD和∠BCD都是弦切角．二、知识探究说明：弦切角也可以看做圆周角的一边绕其顶点旋转到与圆相切时所成的角．因此，弦切角与圆周角存在密切关系．弦切角必须具备三个条件：①顶点在圆上(顶点为圆切线的切点)；②一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线)；③一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)．例2(1)判断下列各图形中的角是不是弦切角，并说明理由：(2)如图所示，AB、CB分别切⊙O于D、E，找出图中所有弦切角．解：∠ADE、∠BDE、∠CED、∠BED是弦切角．．2．弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．CABCPA例3（教材19页#1、2）OABPCABCMNO1.O上三点A,B,C,PC切O于C,0100ABC,050BCP,则AOB.2.MN切圆O于C,AB是圆O的直径，且053CAB,则_______,_________.ACMBCN037053060例4.（教材21页#11）如图所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB.证明：方法一：如图所示，连接OC.∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴OC∥AD.由此得∠ACO＝∠CAD.∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO.故AC平分∠DAB.方法二：∵CD为⊙O的切线，连接CB，如图所示，由弦切角定理知∠ACD＝∠B.①又∵AB为直径，C为⊙O上一点，∴∠ACB＝90°，∴∠B＋∠CAB＝90°.②又∵AD⊥CD，∴∠DAC＋∠ACD＝90°.③由①②③知∠DAC＝∠CAB，∴AC平分∠DAB.OCABDo例5.已知：圆O与圆O相交于A,B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C,D.求证：AB是BC和BD的比例中项.作业:1、已知圆O内两条相交弦AB、CD相交于点P.求证：AP∙BP=CP∙DPAPDCBPBAT2、已知：PT是圆O的切线，T为切点，直线l过点P与圆相交弦A、B两点.求证：PT2=PA∙PB