毕业论文终稿——行列式的若干计算方法

1JIUJIANGUNIVERSITY毕业论文题目行列式的计算方法英文题目TheCalculationMethodofDeterminant院系理学院专业信息与计算科学姓名熊绪沅班级学号A1021指导教师石定琴二零一四年五月2摘要高等代数是大学数学系的一门专业基础课，而行列式又是高等代数课程里最基本的内容之一。行列式最早是由解线性方程而引进的，时至今日，行列式已不仅如此，在许多方面都有着广泛的应用，如解析几何、数值计算和工程计算等。因此懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文阐述了行列式计算的12种方法，这些方法不但可以提高我们对行列式的认识，而且也有利于我们把行列式的研究推向深入。关键词：行列式；拉普拉斯定理；三角形法；特征值；分块矩阵法3AbstractHigherAlgebraisabasicprofessionalcourseintheDepartmentofMathematics,anddeterminantisoneofthemostbasiccontentofhigheralgebracourses.Thedeterminantisfirstlydevelopedbythesolutionoflinearequationsandthedevelopmentofthedeterminant,today,hasmorethanthat,itiswidelyusedinmanyaspects,suchasanalyticgeometry,numericalcalculation,engineeringcalculationandsoon.Therefore,howtocalculatethedeterminantisparticularlyimportant.Thispaperdescribes12kindsofmethodstocalculatedeterminant,thesemethodscannotonlyimproveourunderstandingofthedeterminantbutalsohelpuspushthedeterminantresearchtodeeper.Keywords:Determinant;Laplacetheorem;Trianglemethod；Blockmatrixmethod4目录一、n阶行列式定义与基本性质..............................11行列式的定义...............................................................................................................12行列式的性质...............................................................................................................2二、n阶行列式的计算方法.................................31.行列式性质法.............................................................................................................32.化三角形法.................................................................................................................43.展开法.........................................................................................................................54.范德蒙行列式法.........................................................................................................55.升阶法.........................................................................................................................76.数学归纳法.................................................................................................................97.特征方程法...............................................................................................................108.拆项法.......................................................................................................................109.逐行（列）相加减法...............................................................................................1110.特征值法.................................................................................................................1311.分块矩阵法.............................................................................................................13三、总结概述............................................16参考文献................................................17致谢....................................................181引言行列式是高等数学中一个十分重要的课题，在数学理论的研究中起到了相当重要的作用。早在十七世纪末和十八世纪初，日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨在解线性方程组的过程中，就分别提出了行列式的概念；到了1772年的时候，法国数学家范德蒙(Vandermonde)最早把行列式独立于线性方程之外，将其作为专门的理论来进行研究；而十九世纪又是行列式理论的形成和发展的重要时期，尤其在十九世纪中叶出现了行列式的大量定理。因此，在十九世纪末的时候，数学家们已经清楚的描述出了行列式的基本形式。行列式最早产生于解线性方程组的过程中，而其初步的应用也是服务于解线性方程组，不过它现在的应用范围不仅仅局限于解线性方程组的过程中，而且已经成为许多学科十分重要的计算工具。所以，对于我们来说掌握行列式的计算方法是非常重要的。行列式的计算是数学研究中的一个十分重要的问题，也是一个复杂的问题。当行列式的阶数相对比较低（不超过3阶）时，通常可以按照行列式的定义和性质直接计算得出结果，而当行列式出现很多的零元素时（如某些三角形行列式）也可以按行列式的定义直接进行求值。但是对于阶数比较大的n阶行列式，按照其定义和性质直接去计算行列式，这几乎是不可能的事，因此，对于研究一般的n阶行列式的计算方法，是高等代数中十分必要的。为此，我们首先要给出行列式的定义并讨论它的性质，从而引出行列式的各种计算方法。一、n阶行列式定义与基本性质1行列式的定义（1）逆序数在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序[1]。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。如2513中，21，51，53是逆序，逆序数是3，即为奇排列。（2）n阶行列式记为212121112121222()1122()12(1)nnnnjjjjjnjnjjjnnnnaaaaaaDaaaaaa有时也简单记为A或det()A或ijnna，其中(njj1）为排列njj1的逆序数，12njjj就是对所有n级排列求和。行列式也可以表示为：12121112121222()1122()12(1)nnnniiiiininiiinnnnaaaaaaaaaaaa.2行列式的性质1)行与列相互对换，行列式不变，即行列式与其转置行列式相等[1]；111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa2)如果某一行是两组数的和，则这个行列式就等于两个行列式的和，而这个行列式除这一行外全与原来行列式的对应的行相等；121111211112112121122121212nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabcbbccbcbcbcaaaaaaaaa3)一个数乘以行列式的某一行（或列），等于这个数乘以此行列式；111112111212121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakkakakaaaaaaaaaa4)如果行列式满足下列条件之一，则该行列式等于零；行列式两行（或列）成比例；行列式两行（或列）元素相同；行列式一行（或列）元素全为0。35)把一行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变；6)对换行列式中两行（或列）的位置，行列式反号；7)设111212122212nnnnnnnaaaaaaDaaa，那么nD可以按某一行（或列）展开，即有112211221,2,,1,2,,niiiiininjjjjnjnjDaAaAaAinaAaAaAjn，其中ijA是nD中的元素ija的代数余子式。二、n阶行列式的计算方法1.行列式性质法行列式的性质是计算行列式的最基本的方法，其它的一切计算行列式方法都是以此为根据。通过初等行变换或列变换，或者两种变换交替使用，可以把复杂的行列式简单化，从而快速计算出来。例：一个n级行列式nijDa的元素满足,,1,2,,,ijjiaaijn那么称nD为反对称行列式,证明：奇数阶反对称行列式等于零[2]。证：因为ijjiaa所以iiiiaa，得0,1,2,,iiain故行列式nD可表示为如下形式：1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa，再由行列式的性质AA，得到1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa12131122321323312300(1)00nnnnnnnaaaaaaaaaaaa4(1)nnD，故当n为奇数时，有nnDD，因而得0nD.2.化三角形法即把已知行列式利用行列式性质变换为上（或下）三角行列式，因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式。在许多情况下，我们先利用行列式的定义与性质将其作某种初等变换后，再将其化为三角形行列式,即把已知行列式通过变换化为下列三角形行列式中的某一种，则其值就可快速计算出来[3]。120...00...0............00...n12...0...............0......n121