向量和三角形的五心

向量和三角形的五心一、前言：在本校自然资优班的一次数学课堂中，笔者讲到以下的性质：在ABC中，若点G为ABC的重心，则13OGOAOBOC，其中点O为任一点。下课后，有位许同学便到办公室提出以下的问题：（1）在ABC中，点G为ABC的重心，可得到13OGOAOBOC的结果；那么反过来，若有一点G，满足13OGOAOBOC，是否保证点G为ABC的重心呢？（2）在ABC中，另外的四心，即内心、垂心、外心、傍心，是否也有类似充要条件的性质呢？当时笔者告诉许同学，重心、内心、傍心有类似性质，其中重心的性质是充要条件没错；至于内心、傍心的性质是否为充要，还须再证明看看；而垂心、外心的向量充要性质老师还没看过，容老师再思考一些时间。接到许同学的问题后，笔者便与刘国莉老师一起讨论，经过仔细探讨之后，我们得到以下的结果：1.重心向量性质的充要条件与证明。2.内心向量性质的充要条件与证明。3.傍心向量性质的充要条件与证明。4.外心向量性质的充要条件与证明。5.垂心向量性质的充要条件与证明。二、重心的向量性质：我们将三角形重心与向量性质的充要条件写成定理1如下：定理1：如图（一），在ABC中，则点G为ABC的重心的充要条件为111333OGOAOBOC（其中点O为任一点）证明：设点G为ABC的重心，延长AG交BC于点D，则:2:1AGGD，:1:1BDDC。因此，221111332233AGADABACABAC。设点O为任一点，OGOAAG1133OAABAC1133OAOBOAOCOA111333OAOBOC。另一方面，已知111333OGOAOBOC，其中点O为任一点，令OA代入得DBCAOG图（一）1133AGABAC。延长AG交BC于点D，设113333ttADtAGtABACABAC，,,BDC共线，133tt，得32t。因此，3111123322ADABACABAC，故AD为BC边上的中线。同理可证：延长BG交AC于点E，则BE为AC边上的中线，故点G为ABC的重心。三、内心的向量性质：我们先证明三角形的内分比性质的充要条件，再进一步证明三角形内心与向量性质的充要条件，分别写成性质1及定理2如下：性质1：如图（二），在ABC中，点D为BC上的一点，则AD为A的角平分线的充要条件为::ABACBDCD证明：证明省略。如图（三），设ABC中，，ACb，ABc，因::ABACBDCD，设BDkc，CDkb，k为正数。作//BEAC交AD的延长线于点E，则ADCEDBCDBDACBEkbkcbBEBEc。可知ABBEBADBED，又BEDCAD，得BADCADAD为A的角平分线。定理2：如图（四），在ABC中，点O为任一点，则点I为ABC的内心的充要条件为abcOIOAOBOCabcabcabc证明：已知点I为ABC的内心，延长AI交BC于点D，则::BDDCcb，::AIIDACBD::ccabcabc。因此，bcAIADabcbcbcABACabcbcbcbcABACabcabc。设点O为任一点，OIOAAIbcOAABACabcabcbcOAOBOAOCOAabcabcabcOAOBOCabcabcabc。cbaBCADI图（四）DABC图（二）图（三）bcDABCE已知abcOIOAOBOCabcabcabc，其中点O为任一点，可取点O等于点A代入，得bcAIABACabcabc。延长AI交BC于点D，设ADtAIbctABACabcabc，因,,BDC共线1bcabcttabcbc。:::bcADABACBDCDcbABACbcbc，由性质1可知：AD为A的角平分线。同理，可证BI为B的角平分线，因此点I为ABC的内心。四、傍心的向量性质：我们先证明三角形的外分比性质的充要条件，再进一步证明三角形傍心与向量性质的充要条件，分别写成性质2及定理3如下：性质2：如图（五），在ABC中，则BK为B的外角平分线（点K在AC的延长线上）的充要条件为::BABCAKCK。证明：已知BK为B的外角平分线，作CQ平行BK交AB于点Q12；又CQ平行BK13，24，即得34BQBC。由CQ平行BK可得:::ABBCABQBAKCK。已知::BABCAKCK，作//CQBK交AB于点Q，:::ABBQAKCKBABC34BQBC。//CQBK13，24。因此12BK为B的外角平分线。定理3：如图（六），在ABC中，点O为任一点，则（1）点aI为A所对之傍心的充要条件为aabcOIOAOBOCbcabcabca。图（五）4321AKBCQbtbtctctcbaaDBACIB'C'O（2）点bI为A所对之傍心的充要条件为babcOIOAOBOCacbacbacb（3）点cI为A所对之傍心的充要条件为cabcOIOAOBOCabcabcabc证明：只证明（1），而（2）与（3）同理，故省略。如图（六），点aI为ABC，A所对之傍心。过点aI作BC平行BC分别交AB、AC的延长线于B、C。由性质1，可设aBIct，aCIbt，又aBIBB且aCICC，由11ACBCbaaatbbtbtcttbctbcaACBC。所以abtctAIABACbtctbtctbcABACbcbcbcctcbbtABACbccbcb11bctABtACbcbcbbccbcABACbcbcabcbcabcABACbcabca。设O为任一点，aabcOIOAAIOAABACbcabcabcOAOBOAOCOAbcabcaabcOAOBOCbcabcabca。已知aabcOIOAOBOCbcabcabca，令点O为点A代入，得abcAIABACbcabca。设aAI交BC于点D，可设abcADtAItABACbcabca，因,,BDC共线1bctbcabcabcatbc。bcADABACbcbc::BDCDcb:ABAC，由性质1知：aAI为A的内角平分线。另一方面，令点O为点B代入，得aacBIBABCbcabca，::BDCDcb，aacbcBIBABDbcabcacabcBABDbcabca图（六）cbaABCODEaabcaabcaBDBABIBDBABIbcabcabcbc::::aaaADDIbcaaAIDIbca。又aAI为A的内角平分线cBDBCbc；因此，:::cABBDcabcabc。::aaAIDIABBD，由性质2可知：aBI为B的外角平分线。同理可证：aCI为C的外角平分线。故aI为ABC中A所对之傍心。五、外心的向量性质：我们将三角形外心与向量性质的充要条件写成定理4如下：定理4：如图（七），在ABC中，点P为任一点，则点O为ABC的外心的充要条件为222222222222222161616abcabcabcabcPOPAPBPCcoscoscos2sinsin2sinsin2sinsinABCPAPBPCBCACAB，（其中表ABC的面积）证明：如图（七），已知点O为ABC的外心，ABc，BCa，ACb。设ODAB于点D，OEAC于点E，则2211cos22ABAOABAOOABABADABc。同理，221122ACAOACb。设AOxAByAC22AOABxAByACABAOACxABACyAC22221cos21cos2ccxbcAybbcAxby222222cos2cos2cxbcAycbcAxbyb222222222222cxbcaycbcaxbyb-------（＊），由方程组（＊）可得22222221cos22cos441coscos12cos2AcbcAbcbcAAbcAb222222412bcabcbc图（七）222222bcbcaabcabcabcbca。由海龙公式=ssasbsc，其中12sabc，可知abcabcabcbca216。由方程组（＊）可得222222222222222222xcbcabcbbcabcabbb，22222222222ycccabcbcab。所以AOxAByAC22222222221616bcabcbacABAC。设平面上任一点P，POPAAOPAxAByACPAxPBPAyPCPA1xyPAxPByPC22222222222222222222116161616bcabcbacbcabcbacPAPBPC222222222222222161616abcabcabcbacPAPBPC。已得到222222222222222161616abcabcabcabcPOPAPBPC，利用面积公式111sinsinsin222abCbcAcaB，及余弦定理2222cosbcabcA、2222cosabcabC、2222cosacbacB代入上式，即可得coscoscos2sinsin2sinsin2sinsinABCPOPAPBPCBCACAB。已知222222222222222161616abcabcabcabcPOPAPBPC，EDBCAO图（八）点P为平面上任一点，令点P为点A代入，得22222222221616bcabcabcAOABAC。如图（八），设点D为BC中点，1122ADABAC，222222222211216216bcabcabcODADAOABAC。因此222222222211216216bcabcabcBCODABBCACBC22222222222222222288162162bacbcabcbacabc2222222222222211632b