平面向量与三角形三心

第1页共6页向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）0OCOBOAO是ABC的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211yxCyxByxAyxO0OCOBOA0)()()(0)()()(321321yyyyyyxxxxxx33321321yyyyxxxxO是ABC的重心.证法2：如图OCOBOA02ODOAODAO2DOA、、三点共线，且O分AD为2：1O是ABC的重心（2）OAOCOCOBOBOAO为ABC的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.0)(CAOBOCOAOBOCOBOBOAACOB同理BCOA，ABOCO为ABC的垂心（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心OOCcOBbOAa0为ABC的内心.证明：bACcAB、分别为ACAB、方向上的单位向量，bACcAB平分BAC,(AObACcAB)，令cbabcOABCDEOABCDE第2页共6页cbabcAO（bACcAB)化简得0)(ACcABbOAcba0OCcOBbOAa（4）OCOBOAO为ABC的外心。典型例题分析[例题]已知点G是ABC内任意一点,点M是ABC所在平面内一点.试根据下列条件判断G点可能通过ABC的_______心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).[提出问题](1)若存在常数,满足()(0)ABACMGMAABAC,则点G可能通过ABC的__________.(2)若点D是ABC的底边BC上的中点,满足GDGBGDGC,则点G可能通过ABC的__________.(3)若存在常数,满足()(0)sinsinABACMGMAABBACC,则点G可能通过ABC的__________.(4)若存在常数,满足()(0)coscosABACMGMAABBACC,则点G可能通过ABC的__________.[思路分析]以上四个问题的解决要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性质,同时更要熟悉平面向量的性质,对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉.[解答过程](1)记12,ABACeeABAC,则12()AGee.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G是角平分线上的点,故应填内心.(2)简单的变形后发现点G是BC边中垂线上的点,故应填外心.(3)sinsin,ABBACC记sinsinABBACCh,则''()()AGABACh.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G是BC边的中线上的点,故应填重心.(4)分析后发现,本题学生难以找到解决问题的突破口,主要在于平面向量的数量第3页共6页积的充分利用.由()(0)coscosABACMGMAABBACC,得()(0)coscosABACAGABBACC,(关键点)()(0)coscosABACAGBCBCABBACC于是()(0)coscos)()0ABBCACBCAGBCABBACCBCBBCBBCBC（cos(-cos）=.从而AGBC,点G是高线上的点,故应填垂心.[点评]以上四个问题处理的方法各不相同,注意到平面向量及三角形的“四心”的性质在解答问题时的作用.特别注意第四问两边同乘以某个表达式的技巧.总结：（1）0OCOBOAO是ABC的重心.（2）OAOCOCOBOBOAO为ABC的垂心.（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心OOCcOBbOAa0为ABC的内心.（4）OCOBOAO为ABC的外心。或者若P点为ABC内任意一点，若P点满足:1．(),0()0ABACAPABACPABCBABCBPttBABC为的内心，;2.DE、两点分别是ABC的边BCCA、上的中点,且DPPBDPPCPABCEPPCEPPA为的外心;3.1(),31()3APABACPABCBPBABC为的重心，;第4页共6页4.00APBCPABCBPAC为的垂心.结合运用：例1：O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：如图所示ABC，ED、分别为边ACBC、的中点.ADACAB2ADOAOP2APOAOPADAP2AP//AD点P的轨迹一定通过ABC的重心，即选C.例2：O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACACABABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的（B）A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：ACACABAB、分别为ACAB、方向上的单位向量，ACACABAB平分BAC,点P的轨迹一定通过ABC的内心，即选B.例3：O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足)coscos(CACACBABABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心ABCDE第5页共6页分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC，D、E是垂足.)coscos(CACACBABABBC=CACBCACBABBCABcoscos=CACCBCACBABBBCABcoscoscoscos=BC+BC=0点P的轨迹一定通过ABC的垂心，即选D.练习：1．已知ABC三个顶点CBA、、及平面内一点P，满足0PCPBPA，若实数满足：APACAB，则的值为（）A．2B．23C．3D．62．若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，0OCOBOA，则OBOA()A．21B．0C．1D．213．点O在ABC内部且满足022OCOBOA，则ABC面积与凹四边形ABOC面积之比是（）A．0B．23C．45D．344．ABC的外接圆的圆心为O，若OCOBOAOH，则H是ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心5．O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，若222OBBCOA222ABOCCA，则O是ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心6．ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH，则实数m=ABCDE第6页共6页7．已知非零向量AB→与AC→满足(AB→|AB→|+AC→|AC→|)·BC→=0且AB→|AB→|·AC→|AC→|=12,则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形8．已知ABC三个顶点CBA、、，若CABCCBABACABAB2，则ABC为（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C