34特征函数

概率论前一页后一页返回广东工业大学第四章特征函数§4.1一维特征函数的定义及其性质§4.2多维随机变量的特征函数§4.3母函数概率论前一页后一页返回广东工业大学§4.1一维特征函数的定义及其性质一、定义及例二、性质三、特征函数与矩的关系四、反演公式及惟一性定理概率论前一页后一页返回广东工业大学随机变量的数字特征只反映随机变量取值某些方面的特征，一般并不能通过它来确定随机变量的分布函数。引进一个工具，既能与分布函数一一对应，但比分布函数具有更好的分析性质。1,12iii虚数单位jj,j211Zabjjtecostjsint欧拉公式=Zabjr(cosisin)概率论前一页后一页返回广东工业大学2.复随机变量的数学期望若复随机变量为jYXZ其中X,Y均为实随机变量,则Z的数学期望定义为)()()(YjEXEZE)sin()cos(tXjtXejtX)()(jtXeEt)()sin()()(cosxdFtxjxdFtx)(xdFejtX概率论前一页后一页返回广东工业大学一、定义及例定义4.1.1设X是定义在概率空间上的随机变量,它),,(PF的分布函数为,称的数学期望为X的特征函数.)(xF)(jtXeEjtXe有时也称为分布函数的特征函数,其中)(xF.,1Rtj记X的特征函数为,在不会引起混乱的情况下简写为)(tX).(t1.特征函数的定义概率论前一页后一页返回广东工业大学一、定义及例定义4.1.1设X是定义在概率空间上的随机变量,它),,(PF的分布函数为,称的数学期望为X的特征函数.)(xF)(jtXeEjtXe有时也称为分布函数的特征函数,其中)(xF.,1Rtj记X的特征函数为,在不会引起混乱的情况下简写为)(tX).(t1.特征函数的定义tXjtXejtXsincos)()(jtXeEt+E(cosXt)jE(sinXt)概率论前一页后一页返回广东工业大学3.特征函数的计算)sin()cos(tXjtXejtX)()(jtXeEt)()(sin)()(cosxdFtxjxdFtx)(xdFejtX(1)离散型)()(jtXeEtkkjtxpek(2)连续型)()(jtXeEtdxxfejtX)(X的特征函数就是x的函数的期望，此时的函数是由X构造出来的复值随机变量的期望。概率论前一页后一页返回广东工业大学例4.1.1设随机变量X服从退化分布,即1}{cXP求X的特征函数.kjtxjtXkk(t)E(e)epkjtxkkjtC(t)epe1jtCe概率论前一页后一页返回广东工业大学例4.1.2设随机变量X服从参数为p的0-1分布(两点分布),求其特征函数.kjtxjtXkk(t)E(e)ep+-jtjt(t)epep101+qjtep概率论前一页后一页返回广东工业大学例4.1.3设随机变量X服从参数为n,p的二项分布,求其特征函数.kjtxjtXkk(t)E(e)ep-nnkkkitknk(t)Cppe01-nnkkitknkC(pe)p01+q)jtn(pe概率论前一页后一页返回广东工业大学例4.1.4设随机变量X服从参数为的泊松分布,求其特征函数.kjtxjtXkk(t)E(e)epk!kitkke(t)e0k!itkkee0（）iteee-itee1（）概率论前一页后一页返回广东工业大学例4.1.5设随机变量X服从的均匀分布,求其特征函数.],[aa)()(jtXeEtdxxfejtX)(f(x),axa,a,120其他(t)aajtxedxa12=axajtxxaejt12=asinatt1)0(t当t=0时，()0=1ef(x)dx0概率论前一页后一页返回广东工业大学例4.1.6设随机变量X服从参数为的指数分布,求其特征函数.jtXjtX(t)E(e)ef(x)dxjtXx(t)eedx0xcostxisintx)edx0（+xxcostxedxisintxedx00+titt22222概率论前一页后一页返回广东工业大学二、特征函数的性质;1)0(|)(|)1(t.)()()2(tt性质4.1.1随机变量X的特征函数满足:性质4.1.2设X的特征函数为,则的特征函数为)(tXbaXY)()(atetXjbtYitYY(t)EeitEe（aX+b)itaXitbitbXEeeeat概率论前一页后一页返回广东工业大学性质4.1.3随机变量X的特征函数在R上一致连续.)(t概率论前一页后一页返回广东工业大学性质4.1.4随机变量X的特征函数是非负定的,即对任意正)(t整数n,任意复数,以及有nzzz,,,21,,,2,1,nrRtr0)(1,nsrsrsrzztt概率论前一页后一页返回广东工业大学波赫纳-辛钦定理若函数连续,非负定且,)(),(Rtt1)0(则必为特征函数.)(t概率论前一页后一页返回广东工业大学三、特征函数与矩的关系定理4.1.1设随机变量X的n阶矩存在,则X的特征函数的k)(t)()(tk阶导数存在,且)0()()(kkkjXEnk概率论前一页后一页返回广东工业大学四、反演公式及唯一性定理定理4.1.2(反演公式)设随机变量X的分岂有此理函数和特征函TTjtxjtxTdttjteexFxF)(21lim)()(2112数分别为和,则对于的任意连续点和,)(xF)(xF)(t1x)(212xxx有若记,2,21221xxhxxa(4.1.8)则(4.1.8)等价于TTjtaTdttetthhaFhaF)(sin1lim)()(概率论前一页后一页返回广东工业大学四、反演公式及唯一性定理TTjtxjtxTdtjteexFxF2121lim)()(12(4.1.8))]()([lim)(11xFxFxFx}{21xXxPTTjtxjtxTxdttjtee)(21limlim11连续点:不连续点:2)()0()(~xFxFxF)(~)(xFt反演公式概率论前一页后一页返回广东工业大学推论1(惟一性定理)分布函数及恒等的充分必要条)(1xF)(2xF件为它们的特征函数及恒等.)(1t)(2t概率论前一页后一页返回广东工业大学推论2设随机变量X的特征函数于R上绝对可积,则X为具有密度函数的连续型随机变量,且)(t)(xfdttexfjtx)(21)(概率论前一页后一页返回广东工业大学例设随机变量X的特征函数221)(tet求随机变量X的密度函数.概率论前一页后一页返回广东工业大学定理4.1.3设X为取整数值及0的随机变量,其概率函数为kpkXP}{,3,2,1,0,1,2,3k其特征函数为kjtkkept)(则dttepjtkk)(21概率论前一页后一页返回广东工业大学例设X为只取0到n的整数的离散型随机变量,且其特征函数为njtpeqt)()(求随机变量X的分布律.概率论前一页后一页返回广东工业大学§4.2多维随机变量的特征函数一、定义及例二、二维随机变量特征函数的性质三、相互独立随机变量和的特征函数概率论前一页后一页返回广东工业大学一、定义及例定义4.2.1设(X,Y)是一个二维随机变量,其分布函数为),,(yxF21,tt为任意实数,记][),()(2121YtXtjeEtt),()(21yxdFeytxtj称为的特征函数.),(21tt),(YX连续型:][),()(2121YtXtjeEttdxdyyxfeytxtj),()(21概率论前一页后一页返回广东工业大学一、定义及例定义4.2.1设(X,Y)是一个二维随机变量,其分布函数为),,(yxF21,tt为任意实数,记][),()(2121YtXtjeEtt),()(21yxdFeytxtj称为的特征函数.),(21tt),(YX离散型:][),()(2121YtXtjeEttrsstrtjsrpe),()(21其中}.,{),(sYrXPsrp概率论前一页后一页返回广东工业大学例4.2.1设二维随机变量的分布列为31}1,1{YXP31}1,1{YXP61}1,1{YXP61}1,1{YXP求二维随机变量的特征函数．),(YX),(YX概率论前一页后一页返回广东工业大学例4.2.2设二维随机变量求二维随机变量的特征函数．),(YX).;,;,(~),(2211rmmNYX)2(21)(212222212121212211),(ttrttmtmtjeett概率论前一页后一页返回广东工业大学n维随机变量的特征函数:定义设有n维随机变量][),,,()(212211nnXtXtXtjneEttt),,,(21nXXX则称为n维随机变量的特征函数.),,,(21nXXX概率论前一页后一页返回广东工业大学二、二维随机变量特征函数的性质性质4.2.1设随机变量的特征函数为，则有),(YX),(21tt(1)且对任意,1)0,0(,,21Rtt.1)0,0(|),(|21tt(2);),(),(2121tttt(3)于实平面上一致连续；),(21tt(4));()0,(111tt).(),0(222tt其中分别为Ｘ及Ｙ的特征函数．)(),(2211tt概率论前一页后一页返回广东工业大学性质4.2.2设皆为常数,为二维随机变量,则2121,,,bbaa),(YX随机变量的特征函数为),(2211bYabXa).,(),(2211)(212211tataettbtbtj概率论前一页后一页返回广东工业大学例4.2.4设二维随机变量求二维随机变量的特征函数．),(YX).;1,0;1,0(~),(rNYX概率论前一页后一页返回广东工业大学性质4.2.3两个二元分布函数恒相等的充分必要条件是它们的特征函数恒等.概率论前一页后一页返回广东工业大学性质4.2.4设随机变量的特征函数为为任),(YXbaatt,,),,(2121意常数,则的特征函数为bYaXaZ21).,()(21tataetjtbZ概率论前一页后一页返回广东工业大学例4.2.5设二维随机变量求分布.2211mYmXZ).;,;,(~),(2211rmmNYX)2(21)(212222212121212211),(ttrttmtmtjeettcbYaXZ概率论前一页后一页返回广东工业大学定理4.2.1随机变量服从二维正态分布的充分必要条件是X与Y的任一线性组合),(YXcbYaX服从一维正态分布.其中a,b,c为任意常数,且a,b不全为0.概率论前一页后一页返回广东工业大学定理4.2.2设为二维随机变量,存在,则其特征函),(YX)(skYXE数的偏导数存在,且),(22ttsksktttt2121),(.]),([)(02121)(21ttskskskskttttjYXE概率论前一页后一页返回广东工业大学例4.2.6设二维随机变量求分布.)(),(),(),(22XYEYEXEXE).;,;,(~)