高斯定理(1)大学物理

0221041rrqqF真空中库仑定律电场强度0qFE表征静电场中给定点电场性质的物理量pEddq02041rrdqEd对E求矢量和1.当均匀带电细棒为无限长时？jdE022.半无限长均匀带电细棒？212均匀带电细棒pE210)sin(sin4120dEx)cos(cos4210dEypEdEx04dEy04★课堂练习：已知q,L,a，求均匀带电细杆延长线上一点的场强？aPLXOxdxEdrrdqEd2041204)xaL(dqdEL)xaL(dxE0204)aL(aq)aL(aLqL)aLa(00044114R0例9.3：均匀带电圆环轴线上一点的场强。cosdEdEEqx204cosrqE204xqE讨论当时Rx解：dq=dlpEdXxrqR设圆环带电量为半径为应熟记上述结果yEdxEdLrdqcos420Ldqr204cos23220)(4xRqx222cosxRrrxpXxr例9.4:均匀带电圆盘轴线上一点的场强。设圆盘带电量为，半径为qR])(1[221220xRxRxxrrdrxpE023220)(2)(23220)(4xrdqxdEdqrdr2解：2322020)(44cosxRqxrqE由上题结果R0dEd讨论：RRx或02E1个圆环上：所有圆环：§3高斯定理第一章静电场一、电场线（E线）1电场线的定义：(1)方向:电场线上各点的切线方向表表示电场中该点场强的方向。1E2E3EdSdNE(2)密度:穿过垂直于该点场强方向的单位面积上的电场线的条数（电场线的面密度）等于该点的场强的大小。EdS场强大小等于电场线的面密度显然，电场线越密集处场强越大。+q-q带异种电荷的平行电极板2.电场线示例点电荷的电场线2.电场线示例带电直导线的电场线2.电场线示例两电极板间的电场线3.电场线的性质：2）电场线不会在无电荷的地方中断；3）电场线不会在无电荷的地方相交；4）静电场线不会形成闭合曲线。1）电场线起于正电荷，终止于负电荷或无穷远处；电荷是电场线的“源”和“尾”；+q-q电场线示例异种点电荷的电场线电场线示例同种点电荷的电场线二、电通量电通量：通过任一曲面的电场线的条数称为这一曲面的电通量。高斯定理－电通量类比:电通量相当于通过某一曲面的水流量.e场强与曲面在垂直于电场线方向的投影面积之乘积(1)均匀电场中电通量的计算SEe=ESES（2）非均匀电场中电通量的计算难点：曲面上各点的场强大小与方向均是变化的。sdsE对策：曲面分割小面元面元的电通量积分求整个曲面的电通量nnsdsE要点：小面元可视为小平面，其上的场强可视为均匀场。cosdSdScosEdSEdSde定义：矢量面元：ndSSd大小等于面元的面积，方向取其法线方向。因此通过面元的电通量可表示为：SdEdensdsESSEdSESdEcos？一个闭合曲面S的电通量为SeSdEnnnn向外为正dS可正可负，取决于场强与法线的夹角电场线穿入闭合曲面电通量为负；不闭合闭合电场线穿出闭合曲面电通量为正。方向的规定：S电通量的计算示例：计算通过以点电荷q为球心，以r为半径的闭合球面的电通量。24rESEe204rqE020244qrqrSEeESr解：先按流量的类比来计算。由于球面上各点的“流速”E大小相等，方向均与球面垂直，故通过球面的“流量”为：再按电通量的定义来计算：cosEdSSdEeESrSd按照面元矢量的定义，如图所示任取面元矢量，由于与E方向相同，故夹角为零。因此有：Sd022044qrrqdSEe1）在此情况下，通过球面的电通量与球面的半径无关；2）通过球面的电通量的正负由球面内的电荷的正负决定；高斯定理的表述通过一个任意闭合曲面的电通量等于该面所包围的所有电荷电量的代数和除以，与闭合面外的电荷无关。SEq0)()(01内SiSEqSdE1高斯定理的公式2iq指闭合曲面内的电荷S高斯定理－表述－公式高斯定理的证明1、点电荷在球心时同心球面S的电通量+qrn等于0q闭合球面的电通量与球面半径无关E3高斯定理－证明022044qrrqdSEe2、包围点电荷的任意闭合曲面S的电通量高斯定理－证明+qSSEedq01结论:e与曲面的形状及q在曲面内的位置无关。'0EEdd0E当闭合曲面内无电荷时，电通量必为零。对整个闭合曲面高斯定理－证明3.点电荷若在S外,则穿出=穿入4、多个点电荷的电通量等于它们单独存在时的电通量的代数和SdESE0021EE021)(qq)()(01内SiSEqSdE闭合曲面所包围的电荷的代数和高斯定理－证明根据电场的叠加原理可得:结论:是所有电荷产生的，e只与内部电荷有关。E说明：)()(01内SiSEqSdE高斯定理高斯定理：E①闭合曲面的取决于其包围的内部电荷；②高斯定理中的场强是由全部电荷产生的；③高斯定理的得出归因于库仑平方反比定律和场叠加原理。E区域外的电荷也会影响曲面上场强的分布。1、如果包围正电荷，则电通量流出；反之亦然。2、电场线不会中断。或者说如果一个封闭区间中没有电荷，那么流入的和流出的电力线数相等。3、包围在封闭区间中的电荷位置发生变化，只影响场强分布，不影响总的电通量。4、区域外的电荷也会影响曲面上场强的分布。反映静电场的性质——有源场高斯定理的物理意义：高斯定理并没有直接给出场强的分布，但是给出了带电体（电荷）与场强之间的一般关系。当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定理求出该电荷系统的电场的分布。比其他方法简便。高斯定理的用途：高斯定理的应用例题1均匀带电球面的电场，球面半径为R,带电为q。4对称性分析E具有球对称作高斯面球面用高斯定理求解解:均匀带电球面的电场，球面半径为R,带电为q。Rr211141rEdsEsdEse电量0iq0421rE01E高斯面1例题1解:均匀带电球面的电场，球面半径为R,带电为q。Rr222242rEdsEsdEse电量qqi0224qrE2024rqE高斯面1均匀带电球面RrrrqRrE2040例2计算均匀带电球体内外的场强分布，已知q,R对称性分析E具有球对称作高斯面球面用高斯定理求解解:rR304RqrE33333434RqrrRqqi电量330214RqrrE高斯定理24rEsdEe通量高斯面1例2计算均匀带电球体内外的场强分布，已知q,R解:高斯面1rRqqi电量204rqE高斯定理qrE2424rEsdEe通量均匀带电球体RrrrqRrrRqrE203044高斯面:柱面（请考虑柱面的对称面）12ssesdEsdEsdEsdE侧sEsEs02110sEs01202EopeE例3．无限大均匀带电平面的场强？作业P58，P59全做，考试会考！电通量SEeddSeSEeddSSEeeddES穿出为正穿入为负说明方向的规定：n(1)38例1一个三棱柱放在均匀电场中E=200N/C。解:三棱柱体的表面为一闭合曲面,由S1,S2,S3,S4,S5构成,其电场强度通量为:54321ΦΦΦΦΦΦeπcos111ESESΦ通过闭合曲面的电场强度通量为零。求通过此三棱柱体的电场强度通量。S1S2S3S4S5θxyzEn011ESESΦe155cosESSEΦ0432ΦΦΦ39例2均匀电场中有一个半径为R的半球面，求通过此半球面的电通量。方法1SEedd解900-rR通过dS面元的电通量dEcos(90)dESlrSdπ2dddRlcosRr2π02d2sinπdREeeER2π40方法2构成一闭合面，电通量0dde底面半球面SESEΦERSESE2πdd底面半球面RE41高斯定理求解电场分布场强E能否提出积分号带电体电荷分布的对称性建立的高斯面是否合适静电场的高斯定理适用于一切静电场；高斯定理并不能求出所有静电场的分布。内qSE01d高斯定理：42R++++rqnnnErlPnEEnn2R1RlS2lS2内qSE01d练习：求无限长均匀带电直线的场强分布。该电场分布具有柱面对称性。即在以带电直线为轴线的任一柱面上，场强的大小相等，方向均沿半径方向。ElSOrp侧下上SdESdESdElrE20lrE02无限长均匀带电直线求无限长均匀带电圆柱面的场强分布，已知R，练习解：场具有轴对称（请考虑场强方向？）高斯面：圆柱面（为什么？）PRPsesdEsdEsdEsdE上底侧面下底lr2E00Rr0iq0ERrRlqi20rRE场强电量0rRER2rE02RrrRrE02002E均匀带电球面无限长均匀带电直线无限大均匀带电平面典型结论RrrqRrE2040无限长均匀带电圆柱面rE0246利用高斯定理求解特殊电荷电场分布的思路:3、根据高斯定理求电场强度。1、分析电场对称性；2、根据对称性取高斯面；球对称:球壳、球体、同心球壳、同心球体与球壳的组合。轴对称:长直导线、圆柱体、圆柱面、同轴圆柱面和同轴圆柱体的组合。面对称:无限大带电平板、平行平板的组合。