公开课《立体几何中的向量方法 》(第一课时)课件

平面向量空间向量推广到向量渐渐成为重要工具从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.引入1、立体几何问题(研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形)空间中的基本研究对象是点、线、面，我们首先研究一下如何用空间向量表示点、线、面的位置。在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP来表示，我们把向量OP称为点P的位置向量.OP如图,l为经过已知点A且平行于非零向量a的直线,那么非零向量a叫做直线l的方向向量。lPa换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量A直线ｌ的向量式方程APtaOOPO通过α上的一点和两个不共线的向量a,b,设P是平面α内任一点，平面α的向量表示形式=xa+yb(x,y∈R)（向量a,b是平面α内相交于点的两直线的方①向向量）②通过平面上一定点和与平面垂直的向量Anl给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是确定的.nn几点注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量与平面平行或在平面内，则有0nmnm,n直线l,取直线l的方向向量n则向量n，向量叫做平面的法向量例1如图所示,长方体的棱长为2，E为AA1中点.(1)直线AC1的一个方向向量坐标为___________(2)平面ABCD的一个法向量坐标为___________(3)平面BDE1的一个法向量的坐标典例展示E总结:如何求平面的法向量⑴设平面的法向量为(,,)nxyz⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)aabcbabc⑶根据法向量的定义建立关于,,xyz的方程组00nanb⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系.用向量方法解决立体问题(2)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1∥l2n1∥n2⇔_______l1⊥l2n1⊥n2⇔________直线l的方向向量为n,平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔_______l⊥αn∥m⇔______平面α,β的法向量分别为n,mα∥βn∥m⇔______α⊥βn⊥m⇔_______n1=λn2n1·n2=0n·m=0n=λmn=λmn·m=0注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.)3,0,0(),1,0,0()3()2,3,2(),2,2,1()2()6,3,6(),2,1,2()1(bababa平行垂直平行设分别是不重合的两直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.,ab设是平面的法向量，是直线的方向向量,根据下列条件,判断直线和平面的位置关系.(1)(1,0,2),(2,0,4)(2)(1,1,1),(2,1,1)auau垂直平行ualll设分别是不重合的两个平面α,β的法向量,根据下列条件,判断α,β的位置关系.,uv(1)(2,2,5),(6,4,4)(2)(1,2,2),(2,4,4)(3)(1,1,2),(2,1,3)uvuvuv垂直平行相交例1如图所示,长方体的棱长为2，E为AA1中点.(1)直线A1C的一个方向向量坐标为___________(2)平面ABCD的一个法向量坐标为___________(3)平面BDE的一个法向量的坐标典例展示E例2四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，求证：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG解1立体几何法证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG在中，E，G分别为PC，AC的中点PAC//PAEGPA又平面EDB，EG平面EDB//PAEDB平面ABCDPEXYZG解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG(1,0,0),(0,0,1),11(0,,)22APE依题意得G11(,，0)2211(1,0,1),(,0,)22PAEGEGPAEGPA//2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA平面所以，//ABCDPEXYZ解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1证明：11(1,0,0),(0,0,1),(0,,),22APE依题意得B(1,1，0)(1,0,1),PAPAEDB而平面EDBPA平面所以，//11(0,,)22DEDB=(1,1，0)设平面EDB的法向量为(,,1)nxy,nnDEDB则1101,1,1220ynxy于是0PAnPAn1．如何认识直线的方向向量？2．如何理解平面的法向量？3．平行与垂直的向量方法课后练习一遍过知识点1-3