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第1页（共17页）2015年天津市南开区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015•南开区一模）i是虚数单位，复数=（）A．﹣iB．iC．﹣﹣iD．﹣+i2．（5分）（2015•南开区一模）已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（）A．0B．﹣6C．﹣8D．﹣123．（5分）（2015•南开区一模）设A，B为两个不相等的集合，条件p：x∉（A∩B），条件q：x∉（A∪B），则p是q的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2015•南开区一模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x﹣y=0，它的一个焦点在抛物线y2=﹣4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．4x2﹣12y2=1B．4x2﹣y2=1C．12x2﹣4y2=1D．x2﹣4y2=15．（5分）（2015•南开区一模）函数y=log0.4（﹣x2+3x+4）的值域是（）A．（0，﹣2]B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]D．[2，+∞）6．（5分）（2015•南开区一模）如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为（）A．B．C．4D．27．（5分）（2015•南开区一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2=a2+bc，A=，则内角C=（）A．B．C．D．或8．（5分）（2015•南开区一模）已知函数f（x）=|mx|﹣|x﹣n|（0＜n＜1+m），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（）A．3＜m＜6B．1＜m＜3C．0＜m＜1D．﹣1＜m＜0二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上．9．（5分）（2015•南开区一模）如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的学生人数为．第2页（共17页）10．（5分）（2015•南开区一模）已知a＞0，（x﹣）6的二项展开式中，常数项等于60，则（x﹣）6的展开式中各项系数和为（用数字作答）．11．（5分）（2015•南开区一模）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S=．12．（5分）（2015•南开区一模）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：（ϕ为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：cosθ﹣sinθ=0，则圆C截直线l所得弦长为．13．（5分）（2015•南开区一模）如图，圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心O．已知PA=AB=2，PO=8．则BD的长为．14．（5分）（2015•南开区一模）已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且=λ，=λ．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE的重心，则•=．三.解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）（2015•南开区一模）设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最小值．16．（13分）（2015•南开区一模）将编号为1，2，3，4的4个小球随机放到A、B、C三个不同的小盒中，每个小盒至少放一个小球．（Ⅰ）求编号为1，2的小球同时放到A盒的概率；第3页（共17页）（Ⅱ）设随机变量ξ为放入A盒的小球的个数，求ξ的分布列与数学期望．17．（13分）（2015•南开区一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．18．（13分）（2015•南开区一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上．19．（14分）（2015•南开区一模）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N*．设Sn为数列{bn}的前n项和，已知b1≠0，2bn﹣b1=S1•Sn，n∈N*（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=bn•log3an，求数列{cn}的前n项和Tn；（Ⅲ）证明：对任意n∈N*且n≥2，有++…+＜．第4页（共17页）20．（14分）（2015•南开区一模）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0．其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）如果当x≠0时，f（2x）＜，求实数k的取值范围．第5页（共17页）2015年天津市南开区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015•南开区一模）i是虚数单位，复数=（）A．﹣iB．iC．﹣﹣iD．﹣+i考点：复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解答：解：=．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．（5分）（2015•南开区一模）已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（）A．0B．﹣6C．﹣8D．﹣12考点：简单线性规划．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，即C（﹣4，4），化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过C时直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于﹣4﹣2×4=﹣12．故选：D．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3．（5分）（2015•南开区一模）设A，B为两个不相等的集合，条件p：x∉（A∩B），条件q：x∉（A∪B），则p是q的（）第6页（共17页）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有专题：集合；简易逻辑．分析：根据集合关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：当x∈A，且x∉（A∩B），满足x∈（A∪B），即充分性不成立，若x∉（A∪B，则x∉（A∩B），成立，即必要性成立，故p是q必要不充分条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据集合关系是解决本题的关键．4．（5分）（2015•南开区一模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x﹣y=0，它的一个焦点在抛物线y2=﹣4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．4x2﹣12y2=1B．4x2﹣y2=1C．12x2﹣4y2=1D．x2﹣4y2=1考点：抛物线的简单性质；双曲线的标准方程．菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的渐近线的方程可得a：b=：1，再利用抛物线的准线x=1=c及c2=a2+b2即可得出a、b．得到椭圆方程．解答：解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x﹣y=0，∴a：b=：1，∵双曲线的一个焦点在抛物线y2=﹣4x的准线x=1上，∴c=1．c2=a2+b2，解得：b2=，a2=∴此双曲线的方程为：x2﹣4y2=1．故选：D．点评：本题考查的知识点是抛物线的简单性质和双曲线的简单性质，熟练掌握圆锥曲线的图象和性质是解题的关键．5．（5分）（2015•南开区一模）函数y=log0.4（﹣x2+3x+4）的值域是（）A．（0，﹣2]B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]D．[2，+∞）考点：函数的值域．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：先通过配方能够得到0，所以根据对数函数的图象即可得到，进行对数的运算从而求出原函数的值域．解答：解：；∴有；所以根据对数函数log0.4x的图象即可得到：=﹣2；第7页（共17页）∴原函数的值域为[﹣2，+∞）．故选B．点评：配方的方法求二次函数的值域，对数函数的定义域，以及对数函数的图象，根据图象求函数的值域的方法．6．（5分）（2015•南开区一模）如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为（）A．B．C．4D．2考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，分析出几何体的形状，进而画出几何体的直观图，进而代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图可得：此棱锥的直观图如下图所示：其底面ABCD为一个底边长为2和2的矩形，面积S=4，高是P点到底面ABCD的距离，即h=，故几何体的体积V==，故选：A点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中根据已知分析出几何体的形状，是解答的关键．7．（5分）（2015•南开区一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2=a2+bc，A=，则内角C=（）A．B．C．D．或考点：余弦定理．菁优网版权所有专题：解三角形．第8页（共17页）分析：由余弦定理可得，而b2=a2+bc，可得c=b，a2=b2，再利用余弦定理即可得出．解答：解：由余弦定理可得=，∵b2=a2+bc，∴=0，解得c=b，a2=b2﹣bc=b2，∴cosC===，∵c＜b，∴C为锐角，．故选：B．点评：本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）（2015•南开区一模）已知函数f（x）=|mx|﹣|x﹣n|（0＜n＜1+m），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（）A．3＜m＜6B．1＜m＜3C．0＜m＜1D．﹣1＜m＜0考点：根的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：根据f（x）=|mx|﹣|x﹣n|＜0，及题意得m＞1，从而，再根据解集中的整数的个数可知2（m﹣1）＜n≤3（m﹣1），解之即可．解答：解：∵f（x）=|mx|﹣|x﹣n|＜0，即|mx|＜|x﹣n|，∴（mx）2﹣（x﹣n）2＜0，即[（m﹣1）x+n][（m+1）x﹣n]＜0，由题意：m+1＞0，f（x）＜0的解集中的整数恰好有3个，可知必有m﹣1＞0，即m＞1，（否则解集中的整数不止3个）故不等式的解为，∵0＜n＜1+m，∴，所以解集中的整数恰好有3个当且仅当，即2（m﹣1）＜n≤3（m﹣1），又n＜1+m，所以2（m﹣1）＜n＜1+m，即2（m﹣1）＜1+m，解得m＜3，从而1＜m＜3，故选：B．点评：本题考查函数零点的判断，灵活对表达式进行变形、挖掘已知条件中的隐含信息是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上．9．（5分）（2015•南开区一模）如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的学生人数为60．第9页（共17页）考点：频率分布直方图．菁优网版权所有专题：概率与统计．分析：根据已知，求出第2小组的频率，再求样本容量即可．解答：解：第2小组的频率为（1﹣0.0375×5﹣0.0125×5）×=0.25；则抽取的学生人数为：=60．故答案为：60．点评：本题考查了读取频率分布直方图中数据的能力，属于基础题．10．（5分）（2015•南开区一模）已知a＞0，（x﹣）6的二项展开式中，常数项等于60，则（x﹣）6的展开式中各项系数和为1（用数字作答）．考点：二项式定