二次函数与面积最值问题

二次函数最值问题•1、小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化．•(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；•(2)当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?解：（1）x02x212S（2）∵a=21-0∴S有最大值∴0221202a2bx）（∴S的最大值为200200220212S∴当x为20cm时，三角形面积最大，最大面积是200cm2。2.如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）.（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求△PBQ的面积的最大值.解：（1）∵S△PBQ=21PB·BQ,PB=AB－AP=18－2x，BQ=x∴y=21（18－2x）x，即y=－x2+9x（0x≤4）（2）由（1）知：y=－x2+9x，2948129∴y=－(x－）2+）2+,∵当0x≤y随x的增大而增大，而0x≤4，∴当x=4时，y最大值=20，即△PBQ的最大面积是20cm23．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动．（1）设运动开始后第t秒钟后，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．（2）t为何值时，S最小？最小值是多少？解：（1）第t秒钟时，AP=tcm，故PB=（6﹣t）cm，BQ=2tcm，故S△PBQ=•（6﹣t）•2t=﹣t2+6t∵S矩形ABCD=6×12=72．∴S=72﹣S△PBQ=t2﹣6t+72（0＜t＜6）；（2）∵S=t2﹣6t+72=（t﹣3）2+63，∴当t=3秒时，S有最小值63cm．4．在某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成如图，若设花园的BC边长为x（m）花园的面积为y（m2）（1）求y与x之间的函数关系式，并求自变量的x的范围（2）当x取何值时花园的面积最大，最大面积为多少？解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∵BC=xm，AB+BC+CD=40m，∴AB=∴花园的面积为：y=x•=﹣x2+20x（0＜x≤15）；∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣x2+20x（0＜x≤15）；（2）∵y=﹣x2+20x=﹣（x﹣20）2+200，∵a=﹣＜0，∴当x＜20时，y随x的增大而增大∴当x=15时，y最大，最大值y=187.5．∴当x取15时花园的面积最大，最大面积为187.5．二次函数中常见图形的的面积问题xyOMENA图五OxyDC图四xyODCEB图六PxyOABD图二ExyOABC图一xyOAB图三1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？4、如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代入y=﹣x2+bx+c中得∴∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；解：（2）存在理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称∴直线BC与x=﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小∵y=﹣x2﹣2x+3∴C的坐标为：（0，3）直线BC解析式为：y=x+3，Q点坐标即为解得∴Q（﹣1，2）；(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．解：（3）存在．理由如下：设P点（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0）∵S△BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO﹣若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大，∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC=BEPE+OE（PE+OC）（x+3）（﹣x2﹣2x+3）+（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）==当x=﹣时，S四边形BPCO最大值=∴S△BPC最大=当x=﹣时，﹣x2﹣2x+3=∴点P坐标为（﹣，），）方法二如图4，连接P0，设P点(x，－x2－2x＋3)(－3x0)．4212xxyxy3、已知抛物线与轴交与A、C两点，与轴交与点B，（1）求抛物线的顶点M的坐标和对称轴；（2）求四边形ABMC的面积.C4、已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点D的坐标；（3）求四边形ADBC的面积.5、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-2,0)，B(0,4)，C(2,4)三点，且与x轴的另一个交点为E。（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点D的坐标和对称轴；（3）求四边形ABDE的面积xxABCNABSSCPOABy6、已知二次函数与B的左边），与y轴交于点C，顶点为P.（1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；（2）求A、B、C、P的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积；（3）在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得,若存在，请写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。322xxy解（1）略（2）当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,解得：x1=3,x2=﹣1,∴点A的坐标是（﹣1,0）,点B的坐标是（3,0）,当x=0时,y=﹣3,∴点C的坐标是（0,﹣3）,∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4,∴P（1,﹣4）,即A（﹣1,0）,B（3,0）,C（0,﹣3），P（1,﹣4）;轴交于A、B两点（A在xABCNABSSAyBOC变式一图变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N，使得，若存在直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由.322xxyxy7、抛物线与轴交与A、B（点A在B右侧），与轴交与点C，若点E为第二象限抛物线上一动点，点E运动到什么位置时，△EBC的面积最大,并求出此时点E的坐标和△EBC的最大面积．32,2xxxEBCS提示：点E的坐标可以设为(),x的取值范围是-3＜x＜0,根据题2求三角形面积的思路建立△EBC的面积关于x的函数关系式，体会点E位置的不确定性对方法的选择是否有影响．如果抛物线过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线。（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式。小敏写出了一个答案：，请你写出一个不同于小敏的答案；（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答。解：（1）依题意，选择点（1，1）作为抛物线的顶点，二次项系数是1根据顶点式得：y=x2-2x+2；（2）∵定点抛物线的顶点坐标为（b，c+b2+1），且-1+2b+c+1=1，∴c=1-2b，∵顶点纵坐标c+b2+1=2-2b+b2=（b-1）2+1，∴当b=1时，c+b2+1最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c=-1，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），B（－1,－3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．解：（1）因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程∴解得：所以为所求抛物线的解析式（2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点设BD的解析式为，则有，，解得：所以BD的解析式为；令则所以解：(3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），B（－1,－3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．由（2）知，OM=OA=OD=2，易知BN=MN=1，易求设依题意有：，即：解得：，，故符合条件的P点有三个如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于A、B两点，D为抛物线的顶点，O为坐标原点．若OA、OB（OA＜OB）的长分别是方程x2-4x+3=0的两根，且∠DAB=45°．（1）求抛物线对应的二次函数解析式；（2）过点A作AC⊥AD交抛物线于点C，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，过点A任作直线l交线段CD于点P，若点C、D到直线l的距离分别记为d1、d2，试求的d1+d2的最大值．解：（1）解方程x2-4x+3=0得：x=1或x=3，而OA＜OB，则点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0）；∵A、B关于抛物线对称轴对称，∴△DAB是等腰三角形，而∠DAB=45°，∴△DAB是等腰直角三角形，得D（1，-2）；令抛物线对应的二次函数解析式为y=a（x-1）2-2，∵抛物线过点A（-1，0），∴0=4a-2，得a=故抛物线对应的二次函数解析式为y=（x-1）2-2（或写成y=x2-x-）解：（2）∵CA⊥AD，∠DAC=90°，（5分）如图,在平面直角坐标系中,开口向上的抛物线与x轴交于A、B两点,D为抛物线的顶点,O为坐标原点．若OA、OB（OA＜OB）的长分别是方程x2-4x+3=0的两根,且∠DAB=45°．（1）求抛物线对应的二次函数解析式；（2）过点A作AC⊥AD交抛物线于点C,求点C的坐标；（3）在（2）的条件下,过点A任作直线l交线段CD于点P,若点C、D到直线l的距离分别记为d1、d2,试求的d1+d2的最大值．又∵∠DAB=45°，∴∠CAB=45°；令点C的坐标为（m，n），则有m+1=n，（6分）∵点C在抛物线上，∴n=（m-1）2-2；（7分）化简得m2-4m-5=0解得m=5，m=-1（舍去）故点C的坐标为（5，6）；（8分）如图,在平面直角坐标系中,开口向上的抛物线与x轴交于A、B两点,D为抛物线的顶点,O为坐标原点．若OA、OB（OA＜OB）的长分别是方程x2-4x+3=0的两根,且∠DAB=45°．（3）在（2）的条件下,过点A任作直线l交线段CD于点P,若点C、D到直线l的距离分别记为d1、d2,试求的d1+d2的最大值．解：（3）由（2）知AC=6，而AD=2∴DC=；过A作AM⊥CD于点M，又∵∴AM=又∵S△ADC=S△APD+S△APC∴d1+d2=即此时d1+d2的最大值为4．（12分）分别过C、D作CN⊥l，DQ⊥l,垂足分别为N、Q，则CN=d1,DQ=d2.Q